En el análisis real, el teorema de Bolzano-Weierstraß es un resultado fundamental referente a la convergencia en un espacio euclídeo dimensionalmente finito Rn.
El teorema establece que cada sucesión acotada en Rn tiene una subsucesión convergente.
En primer lugar, aplicando el método de inducción matemática, demostraremos el teorema cuando n = 1, en cuyo caso el orden de R se puede poner a buen uso.
Demostración: Vamos a llamar a un número entero positivo n un «pico de la secuencia», si m> n implica x n > x m es decir, si xn es mayor que todos los términos siguientes de la sucesión.
Supongamos primero que la sucesión tiene picos infinitos, n1 < n2 < n3 < … < nj < … Entonces la subsucesión correspondiente
a los picos es monótonamente decreciente, con lo que el lema queda probado.
Así que supongamos ahora que solo hay un número finito de picos, sea N el último pico, y supóngase una nueva sucesión
Una vez más, n2 > N no es un pico, por lo tanto hay n3 > n2 con
Repitir este proceso conduce a una subsucesión infinita creciente
Pero se sigue del teorema de convergencia monótona que esta subsucesión deben converger, y la prueba es completa.
Por último, el caso general puede ser fácilmente reducida al caso de n = 1 como sigue: dada una secuencia limitada en Rn, la secuencia de las primeras coordenadas es una secuencia real limitado, por lo tanto tiene una subsucesión convergente.
A continuación, puede extraer un subsubsucesión en el que convergen las segundas coordenadas, y así sucesivamente, hasta que al final hemos pasado de la secuencia original a subsecuencia n veces —que sigue siendo una subsecuencia de la secuencia original— en la que cada coordenada converge secuencia; por lo tanto, la propia subsucesión es convergente.
Entonces, A debe ser limitada, pues de lo contrario existe una secuencia en la xm en A con || xm || ≥ m para todos los m, y luego cada subsecuencia es ilimitada y por tanto no convergentes.
Esta forma del teorema hace especialmente clara la analogía con el Teorema de Heine-Borel, que afirma que un subconjunto de Rn es compacto si y solo si es cerrado y acotado.