Hipercubo
La diagonal más larga de un hipercubo unidad en n dimensiones es igual a
El término politopo de medida (originalmente acuñado por Elte, 1912)[1] es usado especialmente en el trabajo de H. S. M. Coxeter, que también etiqueta los hipercubos como γn politopos.
[2] El hipercubo es un caso especial de un hiperrectángulo (también llamado n-ortotopo).
Su longitud de arista es 2 y su volumen n dimensional es 2n.
Cada n-cubo con n> 0 está compuesto por un conjunto de elementos formado por n-cubos de una dimensión inferior, situados en la superficie (n-1) dimensional del hipercubo original.
Un lado o borde es cualquier elemento de dimensión (n-1) del hipercubo original.
Un hipercubo de dimensión n tiene 2n bordes (un segmento unidimensional tiene 2 puntos finales; un cuadrado bidimensional tiene 4 lados o bordes; un cubo tridimensional tiene 6 caras bidimensionales; un teseracto de cuatro dimensiones tiene 8 celdas cúbicas).
Esta identidad puede ser probada mediante argumentos combinatorios; cada uno de los
Esta identidad también se puede usar para generar la fórmula para el área de superficie del n-cubo.
Estos números también pueden ser generados por la relación de recurrencia lineal Por ejemplo, extender un cuadrado a través de sus 4 vértices agrega una línea adicional (borde) por vértice, y también agrega el segundo cuadrado final, para formar un cubo, dando
Se puede representar un n-cubo en un plano mediante una proyección ortogonal oblicua, generando una serie de polígonos 2n-gonales.
En la siguiente tabla se muestran los casos comprendidos entre el segmento recto y el cubo de dimensión 15.
La familia del hipercubo (orlado) es una de las tres familias de politopos regulares, etiquetada por Harold Scott MacDonald Coxeter como γn.
Una cuarta familia, formada por las teselaciones infinitas de hipercubos, la calificó como δn.
Otra familia relacionada de y politopos uniformes y semiregulares son los demihipercubos, que se construyen a partir de hipercubos con vértices alternativos eliminados y facetas con forma de símplex agregadas en los huecos, etiquetados como hγn.
Esto se puede ver orientando el n hipercubo de modo que dos vértices opuestos se encuentren verticalmente, correspondientes al (n-1)-simplex en sí mismo y al politopo nulo, respectivamente.
Los politopos complejos regulares se pueden definir en el espacio de Hilbert complejo con el nombre de "hipercubos generalizados", γ pn = p {4} 2 {3} ... 2 {3} 2, o ...
Las facetas están generalizadas (n-1)-cubos y las figuras de vértices son símplices regulares.
Los cuadrados generalizados (n=2) se muestran con bordes delineados como rojo y azul alternando el color de los p-bordes, mientras que los n-cubos más altos se dibujan con los p-bordes delineados en negro.
Esta relación implica que siempre aparezcan p n vértices y pn facetas.
