Teorema de los números primos

Este teorema da una descripción general de cómo están distribuidos los números primos en el conjunto de los números naturales.

la función contador de números primos, que denota la cantidad de primos que no exceden a

Una mejor aproximación que la anterior viene dada por la integral logarítmica desplazada:

En 1792 o 1793,[5]​ estando aún en el Collegium Carolinum, y siempre según el propio Gauss («ins Jahr 1792 oder 1793»),[6]​ este anotó en su libreta de notas: El teorema de los números primos también fue conjeturado por Adrien-Marie Legendre en 1798, indicando que π ( x ) parecía tener la forma a/ A ln ( a ) + B , donde A y B son constantes no especificadas.

[8]​ La conjetura fue posteriormente refinada por Gauss con la expresión que, actualmente, se asocia más frecuentemente al teorema.

Prestaron contribuciones significativas sobre esta proposición Legendre, Gauss, Dirichlet, Chebychev y Riemann.

[8]​ La demostración formal del teorema la hicieron de forma independiente tanto Jacques Hadamard como Charles-Jean de la Vallée Poussin en el año 1896.

no tiene ceros de la forma s = 1 + it con t > 0.

En realidad la demostración se hizo sobre una expresión algo más estricta de lo que se indica en la definición anterior del teorema, siendo la expresión demostrada por Hadamard y Poussin la siguiente:

No obstante, en 1912 J. E. Littlewood demostró que dicha cota es cruzada para valores de

El primero de ellos se conoce como primer número de Skewes, y actualmente se sabe que es inferior a

, aunque se piensa que puede ser inferior incluso a

En 1914 Littlewood amplió su demostración con la inclusión de múltiples soluciones a la ecuación

Carl Friedrich Gauss consideró la misma cuestión a la edad de 15 o 16 años «en el año 1792 o 1793», según su propio recuerdo en 1849.

[9]​ En 1838 Peter Gustav Lejeune Dirichlet ideó su propia función de aproximación, la integral logarítmica, li ( x ) (bajo la forma ligeramente distinta de una serie, que comunicó a Gauss).

Su trabajo destaca por el uso de la función zeta ζ ( s ), para valores reales del argumento s, como en trabajos de Leonhard Euler, ya en 1737.

Los trabajos de Chebyshev fueron anteriores a la célebre memoria de Riemann de 1859, y logró demostrar una forma ligeramente más débil de la ley asintótica, a saber, que si el límite a medida que x va al infinito de π ( x )/ x / ln ( x ) existe en absoluto, entonces es necesariamente igual a uno.

[10]​ Pudo demostrar incondicionalmente que este cociente está acotado por arriba y por abajo por dos constantes explícitamente dadas cercanas a 1, para todo x suficientemente grande.

En particular, es en este trabajo donde se origina la idea de aplicar los métodos del análisis complejo al estudio de la función real π ( x ).

[12]​ Ambas demostraciones utilizaban métodos del análisis complejo, estableciendo como paso principal de la demostración que la función zeta de Riemann ζ ( s ) es distinta de cero para todos los valores complejos de la variable s que tienen la forma s = 1 + it con t > 0.

Se encontraron varias pruebas diferentes del mismo, incluyendo las pruebas «elementales» de Atle Selberg[14]​ y Paul Erdős[15]​ (1949).

Una prueba corta fue descubierta en 1980 por el matemático estadounidense Donald J.

[16]​[17]​ La prueba de Newman es posiblemente la prueba más sencilla conocida del teorema, aunque no es elemental en el sentido de que utiliza el teorema integral de Cauchy del análisis complejo.

Concretamente, Helge von Koch demostró en 1901 que: si y sólo si la hipótesis de Riemann se cumple.

Una variante refinada del resultado de Koch, dada por Lowel Schoenfeld en 1976, afirma que la hipótesis de Riemann es equivalente al siguiente resultado: Como consecuencia del teorema de los números primos, se obtiene una expresión asintótica para el enésimo número primo, denotado por pn: Una aproximación mejor es: Sea

la función que denota el número de primos en una progresión aritmética a, a+n, a+2n, a+3n, … menor que x. Dirichlet y Legendre conjeturaron, y Vallée-Poussin demostró, que, si a y n son coprimos, entonces: donde φ(·) es la función φ de Euler.

En otras palabras, los números primos se distribuyen uniformemente entre los residuos de clases [a] módulo n con mcd(a, n) = 1.

Aunque tenemos, en particular, que empíricamente los primos congruentes con 3 son más numerosos y están casi siempre delante en esta «carrera de números primos», la primera inversión se produce en x = 26861.

El fenómeno de que π 4, 3 ( x ) está por delante la mayor parte del tiempo se llama polarización de Chebyshov.

La carrera de los números primos generalizada a otros módulos es objeto de numerosas investigaciones; Pál Turán preguntó si se da siempre el caso de que π ( x; a, c ) y π ( x; b, c ) cambian posiciones cuando a y b son coprimos con c.[21]​ Granville y Martin le dan una exposición completa y estudiada.