En álgebra abstracta, una relación de congruencia (o simplemente congruencia) es una relación de equivalencia definida sobre una estructura algebraica (como un grupo, anillo o espacio vectorial) que es compatible con la estructura en el sentido de que las operaciones algebraicas realizadas con elementos equivalentes producirán elementos equivalentes.
se llaman congruentes de módulo
es un múltiplo de 10, o equivalentemente, ya que tanto
fijo) es compatible tanto con la suma como con la multiplicación entre enteros.
Es decir, si luego La correspondiente suma y multiplicación de clases de equivalencia se conoce como aritmética modular.
es una relación de congruencia en el anillo de los números enteros y el módulo aritmético
se verifica en el anillo cociente correspondiente.
La definición de una congruencia depende del tipo de estructura algebraica en consideración.
Se pueden hacer definiciones particulares de congruencia para grupos, anillos, espacios vectoriales, módulos, semigrupos o retículos.
El tema común es que una congruencia es una relación de equivalencia en un objeto algebraico que es compatible con la estructura algebraica, en el sentido de que las operaciones están bien definidas en las clases de equivalencia.
Por ejemplo, un grupo es un objeto algebraico que consiste en un conjunto junto con una sola operación binaria, que satisface ciertos axiomas.
Para una congruencia en un grupo, la clase de equivalencia que contiene el elemento identidad es siempre un subgrupo normal, y las otras clases de equivalencia son las clases laterales de este subgrupo.
Juntas, estas clases de equivalencia son los elementos de un grupo cociente.
Cuando una estructura algebraica incluye más de una operación, se requiere que las relaciones de congruencia sean compatibles con cada operación.
Por ejemplo, un anillo posee suma y multiplicación, y una relación de congruencia en un anillo debe satisfacer cuando
Para una congruencia en un anillo, la clase de equivalencia que contiene 0 es siempre un ideal de dos lados, y las dos operaciones en el conjunto de clases de equivalencia definen el anillo cociente correspondiente.
La noción general de una relación de congruencia puede tener una definición formal en el contexto del álgebra universal, un campo que estudia ideas comunes a todas las estructuras algebraicas.
en una estructura algebraica que satisface para cada operación
es un homomorfismo entre dos estructuras algebraicas (como el homomorfismo de grupos o una aplicación lineal entre espacios vectoriales), entonces la relación
Según el primer teorema del isomorfismo, la imagen de A bajo
En el caso particular de los grupos, las relaciones de congruencia pueden describirse en términos elementales de la siguiente manera: si G es un grupo (con elemento de identidad e y operación *) y ~ es una relación binaria en G, entonces ~ es una congruencia siempre que: Las condiciones 1, 2 y 3 dicen que ~ es una relación de equivalencia.
Una congruencia ~ está determinada completamente por el conjunto {a ∈ G : a ~ e} de aquellos elementos de G que son congruentes con el elemento identidad, y este conjunto es un subgrupo normal.
Una situación más general en la que este truco es posible es con los grupos omega (en el sentido general, permitiendo operadores con múltipleariedad).
Pero esto no se puede hacer con, por ejemplo, monoides, por lo que el estudio de las relaciones de congruencia juega un papel más central en la teoría de monoides.
La idea se generaliza en el álgebra universal: una relación de congruencia en un álgebra A es un subconjunto del producto directo A × A que es una relación de equivalencia en A y un subalgebra de A×A.
El núcleo de un homomorfismo es siempre una congruencia.
De hecho, cada congruencia surge como un núcleo.
La función que asigna cada elemento de A a su clase de equivalencia es un homomorfismo, y el núcleo de este homomorfismo es ~.
La retícula Con(A) de todas las relaciones de congruencia en un álgebra A es algebraica.
John M. Howie describió cómo la teoría del semigrupo ilustra las relaciones de congruencia en el álgebra universal: