Teorema de los tres cuadrados de Legendre

Los primeros números que no se pueden expresar como la suma de tres cuadrados (es decir, números que se pueden expresar como

) son: 7, 15, 23, 28, 31, 39, 47, 55, 60, 63, 71... (sucesión A004215 en OEIS) up to 100 are in bold Pierre de Fermat afirmó que los números de la forma 8 a + 1 y 8a + 3 son sumas de un cuadrado más el doble de otro cuadrado, pero no proporcionó una prueba.

[1]​ N. Beguelin observó en 1774[2]​ que todo número entero positivo que no tenga la forma 8 n + 7, ni la forma 4n, es la suma de tres cuadrados, pero tampoco proporcionó una prueba satisfactoria.

Anteriormente, en 1801, Gauss había obtenido un resultado más general,[6]​ que contenía como corolario el teorema de Legendre de 1797-8.

La parte del "sólo si" del teorema es sencilla, ya que cualquier cuadrado módulo 8 es congruente con 0, 1 o 4 y, al hacer la suma de tres de ellos no podemos obtener un número de la forma

Una de ellas fue publicada en 1850 por Dirichlet, y se ha convertido en clásico.

[9]​ Requiere tres lemas principales: Este teorema se puede utilizar para demostrar el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange, que establece que todos los números naturales se pueden escribir como una suma de cuatro cuadrados.

Gauss[10]​ señaló que el teorema de los cuatro cuadrados se deriva fácilmente del hecho de que cualquier entero positivo que sea 1 o 2 módulo 4 es una suma de 3 cuadrados, porque cualquier entero positivo no divisible por 4 se puede reducir a esta forma restando 0 o 1 de él.

Sin embargo, demostrar el teorema de los tres cuadrados es considerablemente más difícil que una demostración directa del teorema de los cuatro cuadrados sin utilizar el teorema de los tres cuadrados como lema.