, fue conjeturado por Gauss y finalmente demostrado en 1837 por Dirichlet, nombre por el que actualmente se le conoce.
Esto quiere decir que los números a+nd forman una progresión aritmética en la que hay infinitos números primos, o dicho de otra manera, hay infinitos números primos congruentes con a módulo d. Por ejemplo, el teorema asegura que hay una cantidad infinita de números primos que terminen en 7, ya que los números que terminan en 7 forman una progresión aritmética (7, 17, 27, 37, ...) es decir, es una sucesión de números de la forma a+nd con a=7 y d=10, siendo estos primos entre sí, luego su máximo común divisor es 1.
{\displaystyle {\text{Sean}}\,~a,b\in \mathbb {N} ,\,b\,~{\text{una}}\,{\text{base}}\,{\text{numerica}},\,mcd(a,b)=1}
es decir, a este comprendido entre el menor número primo, 2, y el número menor inmediato a la base, se obtendrán distintas clases de congruencias en dicha base.
Es decir, aquellos números coprimos con la base b verificarán que
Solo es necesario comprobar con las primeras clases, puesto que tomando el ejemplo de la base 10: y se puede afirmar que en la sucesión 17, 27, 37... habrá números primos, al igual con las sucesiones de las clases del 1,3 y 9, pero sería redundante aplicarlo a la clase del 17 que está contenida a su vez en la del 7.
clases de equivalencia distintas, que son 1,3,7 y 9.
Es decir, todos los números acabados en esas cifras o que sean pertenecientes a su clase de equivalencia podrán ser números primos.
Esto se debe a que la función de Euler se puede utilizar para calcular la cantidad de números coprimos a un número dado, que en el caso del 10 son 4 números coprimos.
Si se confecciona una tabla que contenga a los números naturales, se observa que solo los valores acabados en 1, 3, 7 o 9 pueden ser números primos (a excepción del 2 y del 5), pues todos los demás que acaben en cifra par o 5 serán múltiplos de estos números.
Esto es fácilmente visualizable, puesto que el 10 está compuesto por 2 y por 5;
En este caso se tienen 4 clases de equivalencia que se corresponden a los residuos 1, 3, 7, 9 congruentes con módulo 10: Cualquier X que verifique dicha congruencia podría ser un número primo, es decir, si un número no cumple con lo anterior se puede afirmar que es imposible que sea un número primo.
De aquí se puede concluir que las distribuciones de números primos suelen tener un aspecto uniforme, lo que es fácilmente observable en distintas representaciones gráficas en las que los números primos tienden a formar grupos, pero no es el resultado de una propiedad de los números primos, sino que a la hora de obtener diferentes clases de equivalencia los número primos se agrupan en las clases que son coprimas con la base en la cual se representan.