Congruencia es un término usado en la teoría de números, para designar que dos números enteros
{\displaystyle a\,\textstyle {\text{y}}\displaystyle \,b}
tienen el mismo resto al dividirlos por un número natural
, llamado módulo; esto se expresa utilizando la notación: que se expresa diciendo que:
De donde se define que dos números
{\displaystyle a\,\textstyle {\text{y}}\displaystyle \,b}
son congruentes en módulo
«» (sí y solo si) : o lo que es lo mismo,
{\displaystyle a\,\textstyle {\text{y}}\displaystyle \,b}
dejan el mismo resto en la división por
Además, también se puede afirmar que:
El término congruencia se utiliza además con dos sentidos ligeramente diferentes: por un lado con el sentido de identidad matemática, como ejemplo de este uso tenemos el pequeño teorema de Fermat que asegura que para cada primo
tenemos la congruencia: Por otro lado se utiliza en el sentido de ecuación, donde aparecen una o más incógnitas, y nos preguntamos si una congruencia tiene solución y en caso afirmativo cuáles son todas sus soluciones, por ejemplo la congruencia
, tiene solución, y todas sus soluciones vienen dadas por
puede ser cualquier entero de las sucesiones
La notación y la relación terminología fueron introducidas por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae en 1801.
Su utilización se ha extendido a muchos otros entornos en los que podemos hablar de divisibilidad, por ejemplo a polinomios con coeficientes en un cuerpo, a ideales de anillos de números algebraicos, etc.
La relación de congruencia tiene muchas propiedades en común con la igualdad matemática, por citar alguna: y entonces tiene perfecto sentido hablar de la división y también es cierto que donde por definición ponemos
podemos sumarlas, restarlas o multiplicarlas de forma que también se verifican las congruencias