Cuadrado perfecto
Por ejemplo, 9 es un número cuadrado perfecto ya que puede ser escrito como 3 × 3, y se puede ordenar del siguiente modo: Un número entero positivo que no tiene divisores cuadrados (excepto el 1) se denomina número libre de cuadrados.
En álgebra, el cuadrado de un número n se expresa como n², y equivale a n × n. La operación algebraica de elevar al cuadrado un número n nos proporciona el área de un cuadrado geométrico cuyo lado mide n. Por esta razón, tal operación se conoce como elevar al cuadrado.
[1] Un número natural n elevado al cuadrado se puede linealizar por medio de la siguiente expresión: Así, por ejemplo: Con el mismo resultado que la multiplicación: La fórmula general para el n-ésimo número cuadrado es n2.
Esta expresión es igual a la suma de los n primeros números impares, demostrable por inducción matemática, registrada en la siguiente fórmula: Un cuadrado par se puede expresar como la suma de dos impares consecutivos.
y se plantea la ecuación: Un número primo de la forma
Tres cuadrados no son suficientes para ser representados como números de la forma 4k(8m + 7).
Un número positivo puede ser representado como una suma de dos cuadrados precisamente si la factorización en números primos no contiene potencias impares de la forma 4k + 3.
Según el último dígito del número n cuyo cuadrado se quiere calcular se puede comprobar que dicho cuadrado tendrá las siguientes propiedades: Teniendo en cuenta lo anteriormente expuesto, se puede proceder a demostrar las propiedades enumeradas más arriba:
O dicho de otro modo, se cumple que para todo número natural que no es cuadrado perfecto, la cantidad de sus factores es un número par.Todo número natural se puede descomponer en factores primos y sus correspondientes exponentes:
son números primos y a,b,c... sus correspondientes exponentes.
Ejemplos: Otra manera de calcular la distancia es teniendo en cuenta la siguiente propiedad: La diferencia entre cada número cuadrado y el consecutivo(si se comienza con el 0) son todos los números impares, en orden ascendente: 0 + 1 = 1 1 + 3 = 4 4 + 5 = 9 9 + 7 = 16
A su vez las multiplicaciones ('2 * x' o por '4 * x' según el caso), dentro de un bucle puede mantenerse como una suma si se guarda el valor previo de suma.
El n-ésimo número cuadrado puede ser calculado del resultado obtenido en las dos anteriores posiciones y al que se le añade el (n − 1)-ésimo cuadrado de sí mismo, sustrayendo el (n − 2)-enésimo cuadrado, y añadiendo 2 (
Es a menudo útil notar que el cuadrado de cualquier número puede ser representado como la suma 1 + 1 + 2 + 2 +... + n − 1 + n − 1 + n. Por ejemplo, el cuadrado de 4 o 42 es igual a 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16.
Se puede añadir también tres lados y cuatro a la parte superior para obtener un cuadrado.
Es más fácil así:1572=1502 + 7 sumandos que buscamos a continuación: 150+151= 301.
Es el primer sumando y los demás son más fácil de encontrar,303, 305,307, 309, 311, 313.
Este hecho se emplea mucho en las demostraciones (véase raíz cuadrada de 2).
