Según David Hestenes, el álgebra del espacio-tiempo puede estar particularmente asociado con la geometría de la relatividad especial y el espacio-tiempo relativista.
Es un espacio vectorial que permite que no solo vectores, sino también bivectores (cantidades dirigidas asociadas con planos particulares, como áreas o rotaciones) o láminas (cantidades asociadas con hipervolúmenes particulares) se combinen, así como roten, reflejen, o se impulsen por Lorentz.
También es el álgebra parental natural de los espinores en la relatividad especial.
Estas propiedades permiten que muchas de las ecuaciones más importantes de la física se expresen en formas particularmente simples y pueden ser muy útiles para una comprensión geométrica de sus significados.
El álgebra del espacio-tiempo se puede construir a partir de una base ortogonal de un vector similar al tiempo
es la métrica de Minkowski con firma (+ − − −) .
comparten estas propiedades con las matrices de Dirac, pero no es necesario utilizar una representación de matriz explícita en STA.
, satisfaciendo la relación Estos vectores de trama recíprocos se diferencian sólo por un signo, con
Un vector puede estar representado en coordenadas de índice superior o inferior
, según la notación de Einstein, donde las coordenadas se pueden extraer tomando productos escalares con los vectores base o sus recíprocos.
El gradiente del espacio-tiempo, como el gradiente en un espacio euclidiano, se define de manera que se satisfaga la relación de derivada direccional: Esto requiere que la definición del gradiente sea Escrito explícitamente con
, estos parciales son En el álgebra del espacio-tiempo, una división del espacio-tiempo es una proyección desde un espacio de cuatro dimensiones en un espacio (3 + 1) -dimensional con un marco de referencia elegido por medio de las siguientes dos operaciones: Esto se logra mediante la multiplicación previa o posterior mediante el vector base similar al tiempo
, que sirve para dividir un vector de cuatro en un componente escalar de tipo temporal y uno bivector espacial.
cuadradas a la unidad, sirven como base espacial.
Los vectores espaciales en STA se indican en negrita; luego con
Estos pueden interpretarse como proyectores sobre las relaciones de cono de luz y ortogonalidad para dichos proyectores, respectivamente.
Pero en algunos casos es posible dividir una cantidad multivector por otra, y darle sentido al resultado: así, por ejemplo, un área dirigida dividida por un vector en el mismo plano da otro vector, ortogonal al primero.
es la unidad imaginaria sin interpretación geométrica,
En el álgebra del espacio-tiempo, la partícula de Pauli se describe mediante la ecuación real de Pauli-Schrödinger: [4] donde ahora
son elementos del álgebra geométrica, con
Hestenes se refiere a esto como la teoría real de Pauli-Schrödinger para enfatizar que esta teoría se reduce a la teoría de Schrödinger si se elimina el término que incluye el campo magnético.
La función de onda cuántica relativista a veces se expresa como un campo espinor, es decir:[cita requerida] dónde
es un bivector y[5][6] donde, según su derivación por David Hestenes,
[5] Esta ecuación se interpreta como la conexión del espín con el pseudoescalar imaginario.
,[7] donde el símbolo de tilde indica el reverso (el reverso a menudo también se denota con el símbolo de la daga, ver también Rotaciones en álgebra geométrica ).
Esto se ha ampliado para proporcionar un marco para observaciones con valores escalares y vectoriales que varían localmente y apoyan la interpretación de Zitterbewegung de la mecánica cuántica propuesta originalmente por Schrödinger.
es la acción clásica a lo largo del camino
En el álgebra del espacio-tiempo, la partícula de Dirac se describe mediante la ecuación:[9] Aquí,
son elementos del álgebra geométrica, y
es la conexión asociada con el potencial gravitacional, y