Esto a su vez hace posible representar rotaciones espaciales y transformaciones de Lorentz infinitesimales.
En la representación de Dirac, las cuatro matrices gamma contravariantes son
En cinco dimensiones espaciotemporales, las cuatro matrices gamma de arriba junto con la quinta matriz gamma, presentada más abajo, generan el álgebra de Clifford.
Esta propiedad es más fundamental que los valores numéricos utilizados en una representación concreta de las matrices gamma.
La versión covariante gamma las matrices están definidas por empleando la notación de Einstein.
Dicho de un modo más simple, dada una base para V,
Se supone que el espacio-tiempo está dotado con una métrica de Minkowski
pertenece a una representación del grupo de Lorentz, la acción inducida
También significa que los índices de γ se pueden subir y bajar utilizando la métrica
, y la forma anterior a una transformación pasiva de la propia base
El número 5 es una reliquia de la antigua notación en la que se llamaba "
denota el Símbolo de Levi-Civita en n dimensiones, podemos utilizar la identidad
Así conseguimos Esta matriz es útil al emplear el concepto de quiralidad.
Por ejemplo, se puede proyectar un campo de Dirac sus componentes levógira y dextrógira mediante: Algunas propiedades: El conjunto
podemos contraer las dos últimas gammas, y conseguir Finalmente utilizando la identidad del anticonmutador conseguimos Si .
Para mostrar empleamos la propiedad anterior y las propiedades de la matriz
siguientes: Demostramos la propiedad para el cas de tres matrices.
al final mediante la propiedad cíclica de la traza, y el tercer paso, devolverla a su posición original empleando la anticonmutatividad: Esto solamente se verifica si La extensión a
Para hacer este movimiento, tenemos que anticonmutarla con todas las matrices gamma; un número impar de veces, adquiriendo un signo menos.
También empleamos la tercera identidad para simplificar términos como: Aplicándolo todo a la ecuación (1) se obtiene Empleando la propiedad cíclica Así que (4) queda o Para demostrar procedemos según Sumando a ambos lados
Anticonmutando tres veces se obtienen tres signos menos, y usando la propiedad cíclica se llega a Para una demostración de la identidad 6 funciona el mismo truco que en la identidad 5 a no ser que
sea una permutación de (0123), y aparezcan las cuatro matrices gamma distintas.
Estas relaciones se pueden resumir como Las condiciones de hermiticidad no son invariantes bajo la acción
La notación slash de Feynman está definida por para cualquier cuadrivector a.
es diagonal, o en notación más compacta: La base de Weyl tiene la ventaja que las proyecciones quirales toman una forma sencilla, La idempotencia de las proyecciones quirales es evidente.
En la base de Majorana todas las matrices gamma son imaginarias y los espinores reales.
En términos de las matrices de Pauli, se pueden escribir como La razón para hacer las matrices gamma imaginarias es obtener la signatura (+,−,−,−) en la que las masas al cuadrado son positivas.
para obtener otra representación distinta con matrices gamma y espinores reales pero con la signatura (−,+,+,+).
Esto es particularmente útil en algunos procedimientos de renormalización así como en teoría gauge en el retículo.
En el espacio euclídeo, hay dos rpresenatciones usadas frecuentemente: Notar que los factores