, un campo espinorial es una representación de su recubridor universal, el grupo lineal especial
Muchas magnitudes físicas representables mediante campos tensoriales pueden representarse también matemáticamente por campos espinoriales de manera equivalente.
Sin embargo algunos campos espinoriales no admiten análogos tensoriales.
En ese sentido los campos espinoriales generalizan los campos vectoriales y tensoriales, que pueden ser vistos como casos particulares de magnitudes espinoriales.
La mecánica cuántica hace un uso extensivo de los campos espinoriales sin análogo clásico.
Los vectores y tensores pueden ser vistos como espacios vectoriales reales asociados a una cierta representación de grupo del grupo de Lorentz, por lo que sus componentes varían de cierta manera peculiar cuando se expresan respecta a una base vectorial o una base rotada respecto a la anterior por ejemplo.
Los espinores son espacios vectoriales complejos asociados a representaciones de grupo del espacio recubridor universal del grupo de Lorentz, es decir,
Un campo espinorial se caracteriza por dos peculiaridades: Matemáticamente los espinores más simples son vectores cuyas componentes son números complejos (la dimensión vectorial sobre los complejos de un espacio de espinores de Weyl es dos, mientras que para los espinores de Dirac es cuatro).
La diferencia entre un campo vectorial y un campo espinorial es la ley de transformación de componentes según diferentes observadores.
Formalmente, un campo espinorial es un campo tal que toma valores sobre un espacio vectorial, sobre el que se ha definido una representación del álgebra de Lie del grupo de Lorentz.
El tipo más sencillo vector de dos componentes complejas (espinor ordinario o de dos componentes), cuyas componentes para diferentes observadores están relacionadas mediante matrices que constituyen una representación de
Las simetrías de un problema físico requieren que ciertas ecuaciones y entidades que representan magnitudes físicas, sean invariantes bajo la acción de un grupo sobre cierto conjunto de entes matemáticos.
Los aspectos cuánticos de la teoría requieren considerar representaciones proyectivas de dicho grupo.
Los recubridores universales del grupo de Lorentz
y del grupo de rotaciones espaciales
La motivación es que los grupos de Lie
son además de compactos, simplemente conexos, puesto que el tratamiento cuántico de un campo físico requiere estudiar las representaciones proyectivas del grupo de simetría asociado al campo.
Además resulta que las representaciones proyectivas de un grupo de Lie se reducen a las representaciones ordinarias de su recubridor universal.
resuelve el problema de determinar todas la representaciones proyectivas irreducibles de los dos primeros grupos.
En teoría cuántica de campos cualquier tipo de partícula material es tratada como un campo.
Los dos tipos básicos de partículas son los bosones y los fermiones, los primeros pueden ser descritos adecuadamente mediante campos vectoriales o tensoriales mientras que los segundos sólo pueden ser descritos mediante campos espinoriales.
Eso se sigue del teorema de Wigner y del teorema espín-estadística.
Los espinores de Weyl toman valores sobre
Como campos espinoriales no son directamente medibles ya que solo medibles combinaciones cuadráticas o con que son un producto de un número par de componentes de espinores de Weyl.
Dados dos campos espinoriales uno dextrógiro (D) y otro levógiro (L), sus leyes de transformación de componentes vienen dadas por:
La distinción anterior puede explicarse en los siguientes términos: las representaciones del álgebra de Lie complejificada del grupo de Lorentz
pueden reducirse a las representaciones irreducibles de
se refiere a los pesos i y j de la representación en cada uno de los dos espacios
Para los espinores de Dirac pueden escogerse diferentes interpretaciones en función de la forma que se tome para las matrices de Dirac.
Desde un punto de vista elemental campo espinorial de Dirac es un campo vectorial de cuatro componentes complejas, tal que sus componentes medidas por diferentes observadores están relacionadas por relaciones definibles en términos de espinores ordinarios.