Un polinomio de una variable en x de grado n toma la forma general que se muestra arriba, donde son constantes, denominadas coeficientes del polinomio.
En realidad, dado que la función constante 1 es mónica, este semigrupo es incluso un monoide.
La propiedad correspondiente no es verdadera para los polinomios en general, si el anillo contiene elementos unidad distintos de 1.
Si A es un campo, entonces cada polinomio distinto de cero p tiene exactamente un polinomio mónico asociado q; en realidad, q es p dividido con su coeficiente principal.
Por ejemplo, la ecuación real general de segundo grado puede ser reemplazada por poniendo p = b/a y q = c/a.
Así, la ecuación es equivalente a la ecuación mónica La fórmula general de la solución cuadrática es entonces la forma ligeramente más simplificada de: Por otro lado, si los coeficientes no pertenecen a un cuerpo, existen diferencias más esenciales.
Así, la ecuación posiblemente podría tener alguna raíz racional, que no es un número entero (e incidentalmente tiene "entre otras cosas" la raíz −1/2); mientras que las ecuaciones y solo pueden tener soluciones enteras o soluciones irracionales.
Además, es posible demostrar que C está cerrado por adición y multiplicación.
Para p = 2, tales polinomios se usan comúnmente para generar secuencias binarias pseudoaleatorias.
[4] Normalmente, el término mónico no se emplea para polinomios de varias variables.
Por ejemplo, el polinomio real es mónico, considerado como un elemento en R [y] [x], es decir, como un polinomio univariable en x, con coeficientes que son ellos mismos polinomios univariable en y: pero p(x, y) no es mónico como elemento en R [x] [y], por lo que el coeficiente del término de grado más alto (es decir, el coeficiente de y2) esen realidad 2x − 1.
Existe una convención alternativa, que puede ser útil, por ejemplo en contextos de bases de Gröbner: un polinomio se llama mónico, si su coeficiente principal (como polinomio multivariable) es 1.
En otras palabras, supóngase que p = p(x1, ..., xn) es un polinomio distinto de cero en n variables, y que hay un orden monomial dado en el conjunto de todos los monomios ("mónicos") en estas variables, es decir, un orden total del monoide conmutativo libre generado por x1, ..., xn, con la unidad como elemento más bajo y respetando la multiplicación.