Este problema, propuesto inicialmente por Hilbert en el siglo XIX,[1] permanece sin resolver.
Pese a ser un problema abierto, se conocen muchos detalles sobre algunos casos particulares.
Se sabe, por ejemplo (Šafarevič), que todo grupo finito es realizable sobre cualquier cuerpo de funciones en una variable sobre los números complejos
Šafarevič mostró que todo grupo finito resoluble es realizable sobre
actúa como grupo de automorfismos y el cuerpo fijo por
Aquí «racional» significa que es una extensión puramente trascendental de
Este criterio puede, por ejemplo, emplearse para demostrar que todos los grupos simétricos son realizables.
Se ha profundizado mucho en esta cuestión, para la que aún no existe una resolución general.
Algunos de los trabajos llevados a cabo se basan en construir
Es posible, mediante resultados clásicos, construir explícitamente un polinomio cuyo grupo de Galois sobre
; esto es posible por el teorema de Dirichlet.
(Esta afirmación no debe confundirse con el teorema de Kronecker-Weber, un resultado mucho más profundo.)
es una raíz del polinomio que en consecuencia tiene grupo de Galois
Hilbert demostró que todos los grupos simétricos y alternados son grupos de Galois de polinomios con coeficientes racionales.
tiene discriminante Consideremos el caso especial Sustituyendo un entero primo por
se obtiene como resultado un polinomio (llamado «especialización» de
) que es irreducible por el criterio de Eisenstein.
puede escribirse de la forma y así
puede factorizarse como: cuyo segundo factor es irreducible por el criterio de Eisenstein.
Podemos ahora deducir que este grupo de Galois contiene una trasposición.
se obtiene ahora que puede reescribirse como Entonces
es igual a que no es, en general, un cuadrado perfecto.
actúa transitivamente sobre él por conjugación, y cada elemento de
Esto puede usarse para mostrar que muchos grupos simples finitos, incluido el grupo simple monstruo, son grupos de Galois de extensiones de los racionales.
, que está generado por un n-ciclo y una trasposición cuyo producto es un (n−1)-ciclo.
Un retículo Λ en el plano complejo de periodo
Este último pertenece al conjunto finito de subretículos permutados por el grupo modular PSL(2,Z), que se basa en cambios de base para Λ.
En los retículos conjugados, el grupo modular actúa como PGL(2,Zn).
tiene grupo de Galois isomorfo a PGL(2,Zn) sobre
a polinomios con grupo de Galois PGL(2,Zn) sobre