Formulación débil de una ecuación diferencial

La formulación débil (o formulación variacional) de un problema definido mediante ecuaciones diferenciales es una forma alternativa en que dichas ecuaciones se escriben en forma integral, dando lugar a ecuaciones tratables mediante los métodos del álgebra lineal sobre un espacio vectorial de dimensión infinita o espacio funcional.A continuación se introduce la formulación débil en general, se dan algunos ejemplos y se presenta el principal teorema de la formulación débil: el teorema de Lax-Milgram, que permite asegurar la existencia y unidad de una amplia clase de problemas en forma débil.Donde: Para encontrar la forma débil del problema anterior necesitamos presuponer ciertas condiciones razonables sobre la solución, en concreto, necesitamos suponer que la función conocidapertenecen cada una a un espacio de funciones (Más concretamente, la hipótesis común es que el espacio de Banach al que pertenece la función incógnita es un subespacioHechas esas precisiones el problema (1) se puede formular como: (1b), Donde: Formulados en esa forma los problemas (1a) y (1b) son esencialmente equivalentes e igualmente difíciles.La forma débil del problema se obtiene a partir de cálculo de variaciones que nos dice sies lineal entonces el problema (2a) se puede escribir mediante una forma bilinealDebido a que la introducción anterior es probablemente muy abstracta conviene introducir algunos ejemplos para ilustrarla.En esta sección se particularizan los resultados anteriores a dos casos simples: la ecuación de Poisson que una vez expresada en forma débil da lugar a un problema variacional elíptico definido sobre el espacio de Sobolev y el caso del problema elástico lineal.Una solución ordinaria o "fuerte" del problema anterior es una función:Sin embargo, para reformular este problema en forma débil debemos introducir alguna estructura adicional para definir propiamente los espacios funcionales sobre los que se planteará un problema esencialmente equivalente.En primer lugar definimos el producto escalarAhora derivamos la forma débil, multiplicando la ecuación (3a) por una función diferenciablees de Soporte compacto contenido en el interior dominio Ω, e integrando por partes se tiene:es arbitraria, tenemos que si u es una solución "fuerte" de (3a) entonces también será una solución "débil" de (3b): (3b)Donde se han definido las funciones:{\displaystyle {\begin{cases}a(u,v):\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx,&a(\cdot ,\cdot ):H_{0}^{1}(\Omega )\times H_{0}^{1}(\Omega )\to \mathbb {R} \\f(v):=\int _{\Omega }fv\,dx&f:L^{2}(\Omega )\to \mathbb {R} \end{cases}}}El interés de la forma débil es que para problemas de interés práctico la solución puede calcularse mediante el método de los elementos finitos sin mayor complicación, aun cuando una solución analítica de (3a) no sea sencilla de encontrar para un dominio dado.Igualmente el procedimiento anterior también explica los términos "forma débil" y "solución débil": Dada una solución "fuerte" de (3a) entonces también es solución de (3b), aunque una solución de (3b) no es estrictamente una solución de (3a) a menos que dicha solución sea una función dos veces diferenciable, aunque en el sentido de las distribuciones sí es una solución en ese sentido más "débil".El problema elástico lineal planteado en términos de ecuaciones en derivadas parciales el problema elástico consta de las siguientes ecuaciones: (4a)) donde en cada una de esas dos áreas predominan las condiciones de Dirichlet y Von Neumann: (4b)Su enunciado dice que: Dado un espacio de Hilbertque no depende detal que: El teorema anterior puede generalizarse en varias maneras una de ellas cambiando la igualdad por una desigualdad.Por ejemplo, la formulación variacional de un problema elastoplástico requiere el uso de inecuaciones (desigualdades) variacionales elípticas.Una inecuación variacional elíptica de segunda especie (IVE2) tiene la forma:un funcional propio, convexo e inferiormente semicontinuo sobre V, entonces el problema (IVE2) tiene una única solución Este teorema usa en su demostración el teorema del punto fijo de Banach.no necesariamene acotado se es propio si al menos en algún punto es finito, y es inferiormente semicontinuo si para cualquier secuencia convergente