(o más generalmente una variedad diferenciable) que tome valores prescritos sobre el contorno de dicho dominio.
El problema de Dirichlet puede resolverse para muchas EDPs, aunque originalmente fue planteada para la ecuación de Laplace.
En este caso el problema puede enunciarse como sigue: Dada una función
con valores en todos los puntos del contorno de una región en
dos veces continuamente diferenciable en el interior y continua en el contorno, tal que u es armónica en el interior y
En este problema es fundamental probar la existencia de la solución; la unicidad viene dada utilizando el principio del máximo.
El problema de Dirichlet debe su nombre a Lejeune Dirichlet, quien propuso una solución para un método variacional el cual se conoce como principio de Dirichlet.
La existencia de una solución única es muy plausible por el 'argumento físico': cualquier distribución de carga sobre el contorno, para las leyes de la electrostática, deberá determinar un potencial eléctrico como solución.
Sin embargo, Weierstrass encontró una falla al argumento de Dirichlet, y una demostración rigurosa de la existencia fue encontrada recién en 1900 por Hilbert.
, la solución general al problema de Dirichlet es:
donde es la derivada de la función de Green a lo largo del vector unitario normal apuntando hacia el interior
La integración se realiza sobre el contorno, con la medida
Tal función de Green usualmente es una suma de las funciones de Green del campo libre una solución armónica a la ecuación diferencial.
El problema de Dirichlet para funciones armónicas siempre tiene solución, y esa solución es única cuando el contorno es suficientemente suave y
Las condiciones anteriores pueden relajarse pudiéndose probar que el problema de Dirichlet admite solución continua para un dominio convexo (sin requerir condiciones de suavidad) o cuando cada punto del contorno pertenece a una bola cerrada íntegramente contenida en el conjunto complementario del interior del dominio (condición de la bola cerrada exterior).
Supongase la existencia de dos funciones armónicas en una región R simplemente conexa que cumplen: Se construye la siguiente función: Por construcción la función dada cumple: Integrando la norma del gradiente de
se tiene finalmente que: Cuando el problema de Dirichlet se plantea sobre un conjunto abierto
denota una función real continua sobre la frontera
Si se define el conjunto de Perron
como el conjunto de funciones reales continuas
Nótese que este conjunto es no vacío ya que contiene la función constante para
es solución del problema de Dirichlet buscado cuando la frontera es tal que el problema admite solución única.
Aun cuando la función anterior no sea una solución del problema de Dirichlet por irregularidades en la frontera, puede probarse que sigue siendo una función armónica sobre para
En algunos casos simples el problema de Dirichlet puede resolverse en forma explícita.
Por ejemplo, la solución para el problema de Dirichlet para un disco unitario en
está dado por la fórmula integral de Poisson.
, entonces la solución al problema de Dirichlet es
y elegida tal que
Los problemas de Dirichlet son típicos de las ecuaciones en derivadas parciales elípticas, la teoría del potencial, y la ecuación de Laplace en particular.
Otros ejemplos son la ecuación biarmónica y las ecuaciones relacionadas con la teoría de la elasticidad.