Teoría de representación
[2][3] En esencia, una representación hace que un objeto algebraico abstracto sea más concreto al describir sus elementos mediante matrices y sus operaciones algebraicas (por ejemplo, suma de matrices, multiplicación de matrices).
La teoría de matrices y operadores lineales se comprende bien, por lo que las representaciones de objetos más abstractos en términos de objetos familiares de álgebra lineal ayudan a obtener propiedades y, a veces, simplifican los cálculos en teorías más abstractas.
Aunque todas las teorías tienen en común los conceptos básicos ya discutidos, difieren considerablemente en los detalles.
Las diferencias son al menos tres: Sea V un espacio vectorial en el campo F.[6] Por ejemplo, suponiendo que V es Rn o Cn, el espacio n-dimensional estándar de vectores columna en los números reales o complejos, respectivamente.
[16][5] Ello es generalizable a todo campo F y todo espacio vectorial V en F, con mapas lineales reemplazando a las matrices y composición reemplazando a la multiplicación de matriz: existe un grupo GL(V,F) de automorfismos de V, un álgebra asociativa EndF(V) de todos los endomorfismos de V, y un álgebra de Lie correspondiente gl(V,F).
(g, v), entonces para todo g1, g2 en G y v en V: donde e es el elemento identidad de G y g1g2 es el producto en G. El requerimiento para álgebras asociativas es análogo, excepto que las álgebras asociativas no siempre tienen un elemento identidad, en cuyo caso la ecuación (1) es ignorada.
