Conjetura de Hodge

La conjetura de Hodge es un importante problema de geometría algebraica todavía no resuelto en el que se relacionan la topología algebraica de una variedad algebraica compleja no singular y las subvariedades de esa variedad.La conjetura de Hodge es uno de los Problemas del milenio cuya resolución sería premiada, según anunció el Clay Mathematics Institute en el año 2000, con la suma de un millón de dólares.[1]​ Sea X una variedad compleja conexa de dimensión compleja n. Luego X, es una variedad diferenciable orientable de dimensión 2n, por lo que sus grupos de cohomología residen en grados cero a través de 2n.Asúmase que X es una variedad de Kähler, por lo que hay una descomposición en su cohomología con coeficientes complejos: dondeEsto es, estas son los grupos de cohomología representados por formas diferenciales que, en una determinada elección de coordenadas locales, puede ser escritas como productos de funciones armónicas(Véase Teoría de Hodge para más detalles).Tomar productos exteriores de estos representantes armónicos se corresponde con el cup product en cohomología, por lo que cup product es compatible con la descomposición de Hodge: Dado que X es una variedad compleja, X tiene una clase fundamental.Sea Z una subvariedad compleja de X de dimensión k, y sea i : Z → X la función de inclusión.del tipo (p, q).Alrededor de 0, podemos elegir coordenadas localesen X tal que Z seaDe forma más abstracta, la integral puede ser escrita como el cap product del grupo de cohomología de Z y del grupo de cohomología representado porSegún la dualidad de Poincaré, el grupo de homología de Z es doble del grupo de cohomología que llamaremos [Z], y el cap product puede ser calculado tomando el cup product de [Z] yy capping con la clase fundamental de X.Según el cálculo anterior, si nosotros cup este grupo con otro tipo de grupo (p, q) ≠ (k, k), entonces tendremos cero., se concluye que [Z] debe quedar enEn pocas palabras, la conjetura de Hodge dice: