Curva de De Rham
[2] Considérese un espacio métrico completo
2 con la distancia euclidiana habitual) y un par de aplicaciones de contracción en M: Por el teorema del punto fijo de Banach, poseen puntos fijos
Sea x un número real en el intervalo
, parametrizada por un único parámetro real x, se conoce como curva de Rham.
Cuando los puntos fijos se emparejan de manera que entonces se puede demostrar que la curva resultante
es una función continua de x.
Cuando la curva es continua, en general no es diferenciable.
En el resto de esta página, se asume que las curvas son continuas.
Este monoide que duplica el período es un subconjunto del grupo modular.
Debido a estas restricciones, están determinadas únicamente por un número complejo
Estas aplicaciones se expresan en el plano complejo en función de
El Koch curve se obtiene configurando: mientras que el Curva de Peano corresponde a: Las curvas de Cesàro-Faber y de Peano-Koch son ambas casos especiales del caso general de un par de transformaciones lineales afines en el plano complejo.
Al fijar un punto final de la curva en 0 y el otro en uno, el caso general se obtiene iterando sobre las dos transformadas.
del plano 2-D actuando sobre el vector Se puede ver que el punto medio de la curva está ubicado en
( u , v ) = ( α , β )
; los otros cuatro parámetros pueden variarse para crear una gran variedad de curvas.
La curva del manjar blanco de parámetro
Es decir: y Dado que la curva del manjar blanco de parámetro
Si se usan n aplicaciones, entonces se debe usar la descomposición n-aria de x en lugar de usar la expansión binaria de números reales.
La condición de continuidad debe generalizarse en Esta condición de continuidad se puede entender con el siguiente ejemplo.
Supóngase que se está trabajando en base 10.
Entonces se tiene (como es bien conocido) que 0.999...= 1.000..., una ecuación de continuidad que debe aplicarse en cada uno de esos espacios.
Es decir, dados los dígitos decimales
Ornstein y otros autores describieron un análisis multifractal,[6] donde en lugar de trabajar en una base fija, se trabaja en una base variable.
Cualquier número real en el intervalo unidad se puede expandir en una secuencia
se escribe como Esta expansión no es única, si todo
En este caso, se tiene que Tales puntos son análogos a los racionales diádicos en la expansión diádica, y las ecuaciones de continuidad en la curva deben aplicarse en estos puntos.
, se deben especificar dos cosas: un conjunto de dos puntos
y un conjunto de funciones
La condición de continuidad es entonces igual que antes, El ejemplo original de Ornstein tiene la expresión siguiente
