Sistema iterativo de funciones
Un sistema iterativo de funciones (SIF o IFS acrónimo del inglés Iterated function system) es una construcción matemática usada para representar de manera simple ciertos conjuntos fractales que presenten autosimilitud.
Muchos fractales clásicos autosimilares, autoafines y autoconformes pueden representarse como el único conjunto compacto invariante por un sistema iterativo de funciones contractivas.
Un sistema iterativo de funciones (SIF) sobre
(se puede generalizar a cualquier espacio métrico completo) se define a partir de un conjunto finito de contracciones
El carácter contractivo de estas funciones implica que:
Si sobre un conjunto se aplican reiteradamente las anteriores aplicaciones contractivas (iterativamente), lo que resultará en un sistema iterativo de funciones (SIF).
{\displaystyle F:{\mathcal {P}}(X)\rightarrow {\mathcal {P}}(X),\qquad F(A)=\bigcup _{i=1}^{k}F_{i}(A)}
Por esa razón, frecuentemente ese conjunto es un conjunto fractal y su dimensión de Hausdorff D puede determinarse fácilmente, ya que es la única solución del sistema:
Y por tanto su dimensión fractal puede calcularse fácilmente:
Si consideran todos los conjuntos compactos
formado por dichos conjuntos y con la distancia de Hausdorff como función distancia de dicho espacio.
Todo sistema iterativo de funciones permite definir una contracción en el espacio métrico anterior:
Esta función es la restricción a conjuntos compactos de la contracción inducida por el SIF.
Como toda contracción presenta un punto fijo, la aplicación anterior presenta un "punto fijo" o atractor, es decir, un conjunto compacto invariante por la aplicación anterior.
El atractor o punto fijo de la aplicación anterior puede representarse como:
O equivalentemente como límite de la sucesión:
, en la que observamos que K estará formado por unión de k copias de sí mismo, posiblemente deformadas, y de menor tamaño (si las aplicaciones son contractivas), que pueden solaparse o no.
Todo SIF tiene un atractor, o conjunto compacto invariante por el SIF que frecuentemente es un objeto fractal.
La dimensión de dicho atractor puede calcularse de manera sencilla si se satisface la condición del conjunto abierto (CCA), es decir, que exista un conjunto abierto no vacío
Muchos fractales clásicos como la curva de Koch o la alfombra de Sierpiński satisfacen la CCA.
Si las funciones del SIF son semejanzas, para el cálculo de la dimensión se tiene el siguiente teorema: Esta última expresión permite calcular la dimensión fractal (D) del atractor del SIF compuesto de n aplicaciones contractivas de factor de contracción ri, en caso de que estas no provoquen solapamiento o más generalmente satisfagan la CCA.
Este teorema nos permite encontrar un SIF cuyo atractor esté todo lo próximo que deseemos (en el sentido de la distancia de Hausdorff) o coincida con un conjunto prefijado C. Para hallar dicho SIF necesitamos encontrar un número suficiente de aplicaciones contractivas tales que la unión (collage) de las imágenes del conjunto bajo estas aplicaciones esté lo suficientemente próxima o coincida con el propio conjunto.
Como ejemplo, para conseguir un SIF cuyo atractor corresponda al conjunto fractal de la figura son necesarias 3 transformaciones: Simplemente construye los sucesivos conjuntos {A, F(A), F(F(A)),...}.
Como dicha sucesión converge al atractor del SIF independientemente del conjunto A de partida, puede usarse cualquier valor inicial, con frecuencia una caja cuadrada.
En este algoritmo, también llamado "juego del caos", un punto que describe una danza aparentemente aleatoria va perfilando progresivamente la estructura del atractor.
Para ello, se elige un punto x0 del espacio métrico y se forma una sucesión del siguiente modo: en cada paso se escoge aleatoriamente y con igual probabilidad
Se demuestra que la sucesión así formada "converge" al atractor del SIF.
Este algoritmo permite una generalización en que se asignan distintas probabilidades pi a la hora de escoger cada fi.
Diferentes probabilidades permiten obtener diversas texturas y densidades, útiles para el modelado de escenas naturales.
Un SIF en que cada función fi va acompañada de un número positivo pi de modo que
