Curva del manjar blanco
En matemáticas, la curva del manjar blanco es un tipo de curva autoafín construible por subdivisiones sucesivas aplicadas en los puntos medios de cada estado anterior.
La función manjar blanco se define en el intervalo unidad mediante donde
es la distancia de x al número entero más cercano.
La curva de Takagi-Landsberg es una ligera generalización, dada por para un parámetro
; por lo tanto, la curva del manjar blanco es el caso
La función se puede extender a toda la recta real: la aplicación de la definición dada arriba muestra que la función se repite en cada intervalo unitario.
a la ecuación funcional De hecho, la función del manjar blanco
ciertamente está acotada y resuelve la ecuación funcional, ya que Por el contrario, si
Por cierto, las ecuaciones funcionales anteriores poseen infinitas soluciones continuas, no acotadas, como por ejemplo
La curva del manjar blanco se puede construir visualmente a partir de funciones de onda triangulares si la suma infinita se aproxima mediante sumas finitas de los primeros términos.
En las siguientes ilustraciones, las funciones triangulares progresivamente más finas (mostradas en rojo) se agregan a la curva en cada etapa.
son continuas y converge uniformemente hacia
, ya que: Este valor se puede hacer tan pequeño como se quiera seleccionando un valor suficientemente grande de n. Por lo tanto, según el teorema del límite uniforme,
racional no diádico que se desee donde
es de variación acotada en cualquier conjunto abierto no vacío; ni siquiera es lipschitziana localmente, pero es casi-lipschitziana.
[5] La función Takagi-Landsberg admite una expansión en series de Fourier absolutamente convergente: con
anterior posee una expansión en series de Fourier absolutamente convergente Por convergencia absoluta, se puede reordenar la serie doble correspondiente para
Este monoide viene dado por dos generadores, g y r, que actúan en la curva (restringida al intervalo unitario) como y Un elemento general del monoide tiene entonces la forma
para algunas constantes a, b y c. Debido a que la acción es lineal, se puede describir en términos de un espacio vectorial, con la base: En este representación, la acción de g y r viene dada por y Es decir, la acción de un elemento general
aplica la curva del manjar blanco en el intervalo unitario [0,1] a un subintervalo
para algunos enteros m, n, p. la aplicación viene dado exactamente por
donde los valores de a, b y c se puede obtener directamente multiplicando las matrices anteriores.
El monoide generado por g y r a veces se denomina monoide diádico, un sub-monoide del grupo modular.
Cuando se habla del grupo modular, la notación más común para g y r es T y S, pero esa notación entra en conflicto con los símbolos utilizados aquí.
La representación tridimensional anterior es solo una de las muchas representaciones que puede tener; muestra que la curva del manjar blanco es una posible realización de la acción.
permite que la integral sobre cualquier intervalo sea calculada por la siguiente relación recursiva, con el tiempo de cálculo en el orden del logaritmo de la precisión requerida.
Definiendo se tiene que La integral viene dado por: Se puede obtener una expresión más general definiendo lo que combinado con la representación en serie da teniendo en cuenta que Esta integral también es auto-semejante en el intervalo unitario, bajo una acción del monoide diádico descrito en la sección Autosemejanza.
Reescribiendo lo anterior en el intervalo unitario para que la acción de g sea más clara, se tiene que A partir de esto, se pueden obtener inmediatamente los generadores de la representación en cuatro dimensiones: y Las integrales repetidas se transforman bajo una representación de 5,6, ... dimensiones.
A medida que t y N se acercan al infinito,
(adecuadamente normalizada) se aproxima a la curva del manjar blanco.
