Transformación diádica
Una transformación diádica (también conocida como aplicación diádica, aplicación bit a bit, aplicación 2x mod 1, aplicación de Bernoulli, aplicación duplicadora o aplicación en diente de sierra[1][2]) es un tipo de correspondencia recurrente tal que producida por la regla:[3] De manera equivalente, la transformación diádica también se puede definir como una función lineal por partes iterativa El nombre de aplicación de desplazamiento de bits surge porque, si el valor de una iteración se escribe en notación binaria, la siguiente iteración se obtiene desplazando el punto binario un bit a la derecha, y si el bit a la izquierda del nuevo punto binario es un "uno", se reemplaza con un cero.
La transformación diádica proporciona un ejemplo de cómo un simple mapa unidimensional puede dar lugar a una forma caótica.
La transformación diádica es un elemento semiconjugado topológicamente para: Cuando
, el caso dcorrespondiente del mapa logístico es
; esto está relacionado con un operador a nivel de bits sobre la variable
Aquí, la aplicación duplica los ángulos medidos en vueltas.
También existe una semi-conjugación topológica entre el mapa diádico y la unidad de altura del mapa de la tienda.
Debido a la naturaleza simple de la dinámica cuando las iteraciones se ven en notación binaria, es fácil categorizar la dinámica según la condición inicial: Por ejemplo, la órbita de avance de
es: que ha alcanzado un ciclo del período
, no importa cuán pequeño sea, hay un número infinito de puntos cuyas órbitas son eventualmente periódicas, y un número infinito de puntos cuyas órbitas nunca son periódicas.
La transformación diádica es un modelo de sistema hamiltoniano integrable que forma parte de la teoría del caos.
Hay vectores propios más generales, que no poseen cuadrados integrables, asociados con un espectro continuo, dados por la función zeta de Hurwitz; de manera equivalente, las combinaciones lineales de la zeta de Hurwitz proporcionan funciones propias, fractales y diferenciables, incluyendo la función de Takagi.
Las funciones propias del fractal muestran una simetría bajo el grupoide fractal del grupo modular.
Una característica de la dinámica caótica es la pérdida de información a medida que se produce la simulación.
Por lo tanto, se pierde información a la velocidad exponencial de un bit por iteración.
Y dado que la simulación ha alcanzado un punto fijo, para casi todas las condiciones iniciales, no describirá la dinámica de manera cualitativamente correcta como caótica.
En la práctica, algún proceso del mundo real puede generar una secuencia de valores
tras un cierto tiempo, y es posible que solo se pueda observar los valores en su forma truncada.
Si se espera hasta que el proceso del mundo real tenga generado el verdadero valor de
, se podrá observar el valor truncado
