Variación acotada
En análisis matemático, una función es de variación acotada (o también denominada de "fluctuación limitada") si su variación total ("fluctuación total") es finita, es decir, no oscila en un grado arbitrario.
Estos términos están estrechamente relacionados con la continuidad y la integrabilidad de funciones.
El espacio de todas las funciones de variación acotada en el dominio
El concepto se remonta a Camille Jordan.
definida en un intervalo cerrado es el supremo donde este supremo se forma a partir de todas las posibles particiones
aquí especificado depende de
En concreto, las funciones continuas de variación acotada son integrables de Riemann-Stieltjes.
puede equiparse con una seminorma: Aquí, el supremo se forma a partir de todas las funciones
continuamente diferenciables con soporte compacto y valores de la función en el intervalo
La seminorma concuerda con el supremo, que define la variación acotada.
Un ejemplo simple de una función con variación ilimitada es
Es claramente comprensible que el valor del cociente
crecerá cada vez más rápido hacia ∞ a medida que se acerca a 0 y, por lo tanto, el seno de este valor realizará un número infinito de oscilaciones.
Este hecho se muestra en la imagen de la derecha.
La función Tampoco tiene una fluctuación limitada en el intervalo [0, 1], a diferencia de la función: Aquí, la variación del término seno, que aumenta bruscamente para
, se ve suficientemente amortiguada por la potencia al cuadrado adicional.
Esta definición también se puede utilizar para funciones complejas o funciones con valores en un espacio métrico
(en este último caso, reemplácese
, son funciones cuyas derivadas distributivas son valores vectoriales con medidas de Radon finitas.
De manera más precisa: Sea
un subconjunto abierto de
si su derivada distribucional es una medida de Radon finita, con signo y con valor vectorial.
también puede entenderse como un camino en un espacio métrico
Se cumple que
tiene una variación acotada si y solo si
es un camino rectificable, es decir, tiene una longitud finita.
En teoría de la medida, las funciones con valores reales/complejos de variación acotada son exactamente las funciones de distribución de medidas de Borel con signo (o complejas) en
