En matemáticas, específicamente en teoría de medidas, una medida de Borel en un espacio topológico es una medida que se define en todos los conjuntos abiertos (y por tanto en todos los conjuntos de Borel).
un espacio de Hausdorff localmente compacto, y sea
la σ-álgebra más pequeña que contiene los conjuntos abiertos de
con su topología habitual es un espacio de Hausdorff localmente compacto; por tanto, podemos definir una medida de Borel sobre él.
es la σ-álgebra más pequeña que contiene los intervalos abiertos de
a veces se le llama "la" medida de Borel en
, que es una medida completa y se define en la σ-álgebra de Lebesgue.
es la medida de Borel descrita anteriormente).
Esta idea se extiende a espacios de dimensión finita.
(el teorema de Cramér-Wold, más abajo) pero no es válida, en general, para espacios de dimensiones infinitas.
En cálculo operativo, la transformada de Laplace de una medida a menudo se trata como si la medida proviniera de una función de distribución f. En ese caso, para evitar posibles confusiones, a menudo se escribe donde el límite inferior de 0 − es la notación abreviada para Este límite enfatiza que cualquier masa puntual ubicada en 0 es capturada completamente por la transformada de Laplace.
Aunque con la integral de Lebesgue no es necesario tomar tal límite, sí aparece más naturalmente en conexión con la transformada de Laplace-Stieltjes.
Se pueden definir los momentos de una medida finita de Borel μ en la recta real mediante la integral Para
estos corresponden al problema del momento de Hamburger, al problema del momento de Stieltjes y al problema del momento de Hausdorff, respectivamente.
La pregunta o problema a resolver es, dada una colección de tales momentos, ¿existe una medida correspondiente?
Para el problema del momento de Hausdorff, la medida correspondiente es única.
Para las demás variantes, en general, existe una infinidad de medidas distintas que dan los mismos momentos.
Dada una medida de Borel μ en un espacio métrico X tal que μ(X) > 0 y μ(B(x, r) ≤ r s se cumple para alguna constante s > 0 y para cada bola B (x, r) en X, entonces la dimensión de Hausdorff dim Haus (X) ≥ s. El lema de Frostman proporciona una inversa parcial: [6] Lema: Sea A un subconjunto de Borel de R n y sea s > 0.
está determinada únicamente por la totalidad de sus proyecciones unidimensionales.
[7] Se utiliza como método para demostrar resultados de convergencia conjunta.
El teorema lleva el nombre de Harald Cramér y Herman Ole Andreas Wold.