Racional diádico
, una fracción p -ádica o p -ádica racional es un número racional cuyo denominador, cuando la razón está en términos mínimos (coprimos), es una potencia de
Debido a que están cerradas en suma, resta y multiplicación, pero no en división, las fracciones p -ádicas son un anillo pero no un campo.
En comparación con otros subconjuntos densos de la línea real, como los números racionales, los racionales p -ádicos son en cierto sentido un conjunto denso relativamente "pequeño", razón por la cual a veces aparecen en las demostraciones.
(Véase, por ejemplo, el lema de Urysohn para los racionales diádicos).
Los racionales p -ádicos son el límite directo de los subgrupos infinitos cíclicos de los números racionales, y su grupo dual se puede construir como el límite inverso del grupo de círculo unitario bajo el mapa repetido Un elemento del solenoide p -ádico se puede representar como una secuencia infinita de números complejos q0, q1, qp, ..., con las propiedades de que cada qi se encuentra en el círculo unitario y que, para todo i > 0, qip = qi − 1.
La operación de grupo en estos elementos multiplica dos secuencias cualesquiera en componentes.
Cada elemento del solenoide diádico corresponde a un carácter de los racionales p -ádicos que mapea a/pb al número complejo qba.
A la inversa, cada carácter χ de los racionales p -ádicos corresponde al elemento del solenoide p -ádico dado por qi = χ(1/pi).
[1] Los números surreales son generados por un principio de construcción iterado que comienza generando todas las fracciones diádicas finitas, y luego continúa creando nuevos y extraños tipos de números infinitos, infinitesimales y otros.
Los antiguos egipcios también usaban fracciones diádicas en la medición, con denominadores de hasta 64.
[2] Las firmas de tiempo en la notación musical occidental consisten tradicionalmente en fracciones diádicas (por ejemplo: 2/2, 4/4, 6/8 ...), aunque los compositores han introducido firmas de tiempo no diádicas en el siglo XX (por ejemplo: 2 /, lo que literalmente significa 2/3⁄8).
