Dualidad de Pontriaguin

Pone en un contexto unificado un número de observaciones sobre funciones en la recta real o en grupos abelianos finitos, vg.Observe que uno puede definir semejantemente la medida izquierda de Haar.Las medidas derechas e izquierdas de Haar están relacionadas por la función modular.En particular, uno puede considerar varios Lp espacios asociados a la medida de Haar.Con más detalle, se define al grupo dual como sigue: Si G es un grupo localmente compacto abeliano, dos tales caracteres se pueden multiplicar punto a punto para formar un nuevo carácter, y el carácter trivial x → 1 es la identidad de G^.Nota: Aquí T es el grupo de la circunferencia unitaria, que se puede ver como los números complejos de módulo 1 o el grupo cociente R/Z como se crea conveniente.Por lo tanto, el grupo dual de Z se identifica con S¹.¿Inversamente, un carácter en S¹ es de la forma z |-> zn para n ∈ Z. Puesto que S¹ es compacto, la topología en el grupo dual es la de la convergencia uniforme que resulta ser la topología discreta.Los caracteres en R son de la forma φy: x |-> eixy.Tenemos G^^ isomorfo a G, de un modo natural que es comparable al doble dual de los espacios vectoriales finito-dimensionales (un caso especial, para los espacios vectoriales reales y complejos).Por ejemplo, si G es un grupo discreto cíclico infinito, G^ es un grupo del círculo: el primero tiene End(G) = Z por tanto también End(G^) = Z. Un uso hecho de la dualidad de Pontriaguin es dar una definición general de una función casi-periódica en un grupo no compacto G en LCA.Su tratamiento se basó en grupos que eran segundo-contable y compactos o discretos.Esto fue mejorado para cubrir a los grupos abelianos localmente compactos en general por E.R.