Una medida con esta propiedad natural se llama finitamente aditiva.
En este sentido, el plano es similar a la recta; existe una medida finitamente aditiva, extensión de la medida de Lebesgue, que es invariante bajo cualquier isometría.
[2] Naturalmente, era una broma y "Arlo Lipof" es un anagrama de "April Fool".
Considérese S, el conjunto de todos los puntos sobre la circunferencia unidad, y la acción sobre S de un grupo G, consistente en todas las rotaciones racionales (rotaciones en ángulos que sean múltiplos racionales de π).
El conjunto X será no medible para cualquier medida de probabilidad numerablemente aditiva y rotacionalmente invariante sobre S: si X tiene medida cero, la aditividad numerable implicaría que la circunferencia completa tiene medida cero.
Habitualmente es muy sencillo probar que un subconjunto específico dado del plano geométrico es medible.
La asunción fundamental es que una sucesión infinita numerable de conjuntos disjuntos satisface la fórmula de sumación, una propiedad llamada aditividad-σ.