Topología general
Los conceptos fundamentales en topología general son continuidad, compacidad y conexión: Las ideas de «cercano», «arbitrariamente cercano» y «lejano» pueden expresarse de forma precisa usando los conjuntos abiertos.
Se llama topología a cada elección de «conjuntos abiertos».
La topología general se desarrolló gracias a varias áreas, siendo las más importantes: La topología general alcanzó la forma que se conoce hoy en día en alrededor de 1940.
La notación Xτ puede ser usada para denotar un conjunto X dotado de la topología particular τ. Llamamos a los elementos de τ los conjuntos abiertos en X.
Un subconjunto de X puede ser abierto, cerrado, ambos (conjunto clopen), o ninguno.
Para productos infinitos, es necesario agregar el requisito adicional que todos salvo finitos abiertos sean la totalidad del espacio.
Cualquier conjunto puede ser dotado de la topología discreta en la que todo subconjunto es abierto.
Este ejemplo muestra que, en un espacio topológico general, los límites de sucesiones no son necesariamente únicos.
A cualquier conjunto se le puede dar la topología discreto, en la que todo subconjunto es abierto.
Esta es la topología más pequeña del T1 sobre cualquier conjunto infinito.
Cuando el conjunto es incontable, esta topología sirve de contraejemplo en muchas situaciones.
De forma más general, a los espacios euclídeoss Rn se les puede dar una topología.
De forma similar, C, el conjunto de números complejoss, y Cn tienen una topología estándar en la que los conjuntos abiertos básicos son bolas abiertas.
A la recta real también se le puede dar la topología del límite inferior.
Aquí, los conjuntos abiertos básicos son los intervalos semiabiertos [a, b).
Este ejemplo muestra que un conjunto puede tener definidas muchas topologías distintas.
En un espacio vectorial finito, esta topología es la misma para todas las normas.
Un ejemplo extremo: si a un conjunto X se le da la topología discreta, todas las funciones a cualquier espacio topológico T son continuas.
Por otra parte, si X está dotado de la topología indiscreta y el espacio T conjunto es al menos T0, entonces las únicas funciones continuas son las funciones constantes.
A la inversa, cualquier función cuyo rango sea indiscreto es continua.
El siguiente criterio expresa la continuidad en términos de vecindad: f es continua en algún punto x ∈ X si y sólo si para cualquier vecindad V de f(x), existe una vecindad U de x tal que f(U) ⊆ V. Intuitivamente, la continuidad significa que no importa lo "pequeño" que se haga V, siempre hay un U que contiene a x que mapea dentro de V.
Sin embargo, en los espacios topológicos generales, no existe la noción de proximidad o distancia.
En muchos casos, esto se consigue especificando cuándo un punto es el límite de una sucesión, pero para algunos espacios que son demasiado grandes en algún sentido, se especifica también cuándo un punto es el límite de conjuntos más generales de puntos indexados por un conjunto dirigido, conocidos como redes.
Si X es un primer axioma de numerabilidad y se cumple el elección contable, entonces también se cumple lo contrario: cualquier función que preserva límites secuenciales es continua.
