Conjunto dirigido
junto con una relación binaria reflexiva y transitiva
El preorden de un conjunto dirigido se denomina dirección.
La noción definida anteriormente a veces se denomina conjunto dirigido hacia arriba.
Un conjunto dirigido hacia abajo se define de manera análoga,[2] y se caracteriza porque cada par de elementos está acotado por abajo.
[3] Algunos autores (y en este artículo) suponen que un conjunto dirigido está dirigido hacia arriba, a menos que se indique lo contrario.
En topología, los conjuntos dirigidos se utilizan para definir redes, que generalizan las sucesiones y unen las diversas nociones de límite utilizadas en análisis.
Los conjuntos dirigidos también dan lugar a límites directos en álgebra abstracta, y más generalmente, en teoría de categorías.
En esta definición, la existencia de un límite superior del subconjunto vacío implica que
en el que las únicas relaciones de orden son
Un ejemplo menos trivial es el de los "números reales dirigidos hacia
(por lo que los elementos "mayores" están más cerca de
Entonces, se dice que los números reales han sido dirigidos hacia
, entonces todavía formaría un conjunto dirigido, pero en este caso tendría un (único) elemento más grande, específicamente
Este ejemplo se puede generalizar a un espacio métrico
definen un preorden en cualquier familia de conjuntos determinada.
) si y solo si o equivalentemente, Se pueden definir muchos ejemplos importantes de conjuntos dirigidos utilizando estos órdenes parciales.
y que además no contiene el conjunto vacío (esta condición evita la trivialidad, porque de lo contrario, el conjunto vacío entonces sería un elemento más grande con respecto a
Cada filtro, topología y σ-álgebra es un conjunto dirigido con respecto a
Cada sucesión se convierte canónicamente en una red al dotar a
de todas las colas es un conjunto dirigido con respecto a
Este conjunto dirigido en particular se utiliza para definir la suma
El conjunto dirigido es un concepto más general que el de semirretículo (unido): cada semirretículo unido es un conjunto dirigido, ya que la unión o el límite superior mínimo de dos elementos es el elemento
no, ya que en el último bit 1 > 0), donde {1000,0001} tiene tres límites superiores pero ningún límite superior mínimo, como se puede ver en la imagen (téngase en cuenta también que sin 1111, el conjunto no está dirigido).
No es necesario que la relación de orden en un conjunto dirigido sea antisimétrica y, por lo tanto, los conjuntos dirigidos no siempre son parcialmente ordenados.
se denomina subconjunto dirigido si es un conjunto dirigido según el mismo orden parcial: en otras palabras, no es el conjunto vacío, y cada par de elementos tiene un límite superior.
No es necesario que un subconjunto dirigido de un conjunto parcialmente ordenado sea cerrado hacia abajo.
Un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado está dirigido si y solo si su cierre descendente es un ideal.
Si bien la definición de conjunto dirigido es para un conjunto "dirigido hacia arriba" (cada par de elementos tiene un límite superior), también es posible definir un conjunto dirigido hacia abajo en el que cada par de elementos tiene un límite inferior común.
Un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado está dirigido hacia abajo si y solo si su cierre superior es un filtro.
En este contexto, los subconjuntos dirigidos nuevamente proporcionan una generalización de las sucesiones convergentes.
