Red (matemática)

En matemáticas, una red es la generalización del concepto de sucesión, de tal manera que no necesariamente tenga una cantidad numerable de elementos.Es el concepto más adecuado (o también su equivalente de filtro) para estudiar la convergencia en un espacio topológico.que verifica las siguientes propiedades: Usualmente, la relaciónse lee como "menor igual" (en forma intuitiva).Un ejemplo importante de conjunto dirigido esen un espacio topológico, dotado de la relación de inclusión, donde un conjunto se dirá "mayor" que otro si está incluido en él.son conjuntos dirigidos) si y solo si existe una funciónque verifica las siguientes dos propiedades: La primera condición refleja la idea intuitiva de que la sub-red se "vaya a infinito" junto con la red, mientras que la segunda es simplemente pedir que los puntos que tome sean efectivamente puntos de la red.si la red está eventualmente en cada entorno de, es decir, si cualquiera que sea el entorno(esto es, cualquiera que sea el conjuntode forma que exista un abiertode tal forma que para cadaDe la propia definición se desprenden de forma inmediata dos consecuencias: Bajo el mismo contexto anterior, se dice que una redsi la red está frecuentemente en cada entorno deEs fácil ver que toda red convergente tiene a su límite como punto de acumulación.es punto de acumulación de una red si y solamente si existe una sub-red que converge aEn este punto se encuentra la primera gran diferencia con sucesiones: una sucesión (que en particular es una red) tiene acomo punto de acumulación si y solo si existe una sub-red que tienda a, pero esta sub-red no tiene porqué ser una sucesión también.Así como en espacios métricos existe una caracterización de la continuidad mediante sucesiones, en espacios topológicos generales esta caracterización se hace mediante redes.Así como en espacios métricos se tiene quees compacto si y solo si toda sucesión tiene un punto de acumulación, en espacios más generales se tiene el mismo resultado, pero con redes, es decir,será compacto si y solo si toda red tiene un punto de acumulación.Notar que en espacios métricos, casi todo lo que se puede hacer con redes también se puede hacer con sucesiones, y como estas últimas son más fáciles de manipular, usualmente se trabaja con ellas.Sin embargo, en espacios topológicos generales, las redes pueden ser de gran utilidad.En ellas, el conjunto dirigido es el conjunto de los números naturales con la relación de orden usual.Esto es así porque el conjunto de los números naturales con el orden usual es un conjunto totalmente ordenado.En efecto, como el conjunto de los números reales junto con el orden usual es un conjunto totalmente ordenado, una función de variable real es una red.Estos dos ejemplos son lo suficientemente importantes como para justificar el estudio de las redes.