Sistema pi

que está cerrada bajo un número finito de intersectiones no vacías.[nb 1]​ La importancia de los sistemas Π surge del hecho de que si dos medidas de probabilidad coinciden en un sistema Π, entonces coinciden en la Σ-álgebra generada por ese sistema Π.Además, si otras propiedades, como la igualdad de integrales, se cumplen para el sistema Π, entonces también se cumplen para el álgebra Σ generada.Este es el caso siempre que la colección de subconjuntos para los cuales se mantiene la propiedad es un sistema λ.Los sistemas Π también son útiles para comprobar la independencia de variables aleatorias.Esto es deseable porque, en la práctica, los sistemas Π suelen ser más sencillos de trabajar que las álgebras Σ.Por ejemplo, puede resultar incómodo trabajar con álgebras Σ generadas por un número finito de conjuntosEsto forma un sistema Π que genera el álgebra Σ deseada.i cada conjunto en este sistema Π es un subconjunto deque no esté vacío, existe un sistema Π, ese es el único sistema Π más pequeño deEs igual a la intersección de todos los sistemas Π que contienenUna familia de conjuntos no vacía tiene la propiedad de la intersección finita si y solo si el sistema Π que genera no contiene el conjunto vacío como elemento.Esto se utiliza como paso para demostrar el teorema Π-λ.El teorema Π-λ se puede utilizar para demostrar muchos resultados elementales en teoría de la medida.[2]​ El teorema Π-λ está estrechamente relacionado con el teorema de la clase monótona, que proporciona una relación similar entre clases monótonas y álgebras, y puede usarse para deducir muchos de los mismos resultados.Si este resultado no parece muy notable, considérese el hecho de que normalmente es muy difícil o incluso imposible describir completamente cada conjunto en el álgebra Σ, por lo que el problema de igualar medidas sería completamente inútil sin dicha herramienta.Esto se debe principalmente a nociones probabilísticas como la independencia, aunque también puede ser consecuencia del hecho de que el teorema Π-λ fue demostrado por el probabilista Eugene Dynkin.(en dos espacios de probabilidad que pueden ser diferentes) son iguales en distribución (o leyes), denotadas pory por lo tanto, según el ejemplo anterior: Un resultado similar es válido para la distribución conjunta de un vector aleatorio.son dos variables aleatorias definidas en el mismo espacio de probabilidadporque es un sistema Π generado por el par de variables aleatoriasel teorema Π-λ se utiliza para demostrar que la función de distribución acumulativa conjunta es suficiente para determinar la ley conjunta de[3]​ La teoría del sistema Π juega un papel importante en la noción probabilística de independencia.son dos variables aleatorias definidas en el mismo espacio de probabilidad, entonces las variables aleatorias son independientes si y solo si sus sistemas Πson variables aleatorias normales estándar independientes e idénticamente distribuidas.Defínanse las variables de radio y argumento (arctan) Entonces,Para probar esto, es suficiente demostrar que los sistemas Πes igual a una unión disjunta finita de conjuntos en