En teoría de la medida, una función medible es aquella que preserva la estructura entre dos espacios medibles.
Formalmente, una función entre dos espacios medibles se dice medible si la preimagen (también llamada imagen inversa) de cualquier conjunto medible es a su vez medible.
{\displaystyle (X,{\mathcal {A}}),(Y,{\mathcal {B}})}
espacios de medida,
{\displaystyle f:X\to Y}
Se dice que
es una función medible con respecto a
(o simplemente se dice que es medible) si para todo
{\displaystyle f^{-1}(B)\in {\mathcal {A}}}
Dada una función
es un espacio de medida, siempre puede construirse una σ-álgebra
tal que la función f es una función medible entre los espacios
, esto se logra definiendo
como la colección de subconjuntos definida por:
Si f es una función medible entre esos dos conjuntos, entonces la σ-álgebra del conjunto antiimagen contendrá a la σ-álgebra mínima anterior.
Dada una función
es un espacio de medida, siempre existe una σ-álgebra máxima
tal que si f es una función medible entre los espacios
, entonces la σ-álgebra sobre el conjunto imagen contiene a la siguiente sigma álgebra:
Toda función continua definida en un conjunto medible es medible.
Sea E un conjunto medible en
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
{\displaystyle f:E\longrightarrow \mathbb {R} }
una función continua.
Si G es un conjunto abierto en
, sabemos que por las propiedades de las funciones continuas
es abierto en E, es decir, existe un conjunto abierto
tal que
{\displaystyle f^{-1}(G)=E\cap U}
Así, E es medible por definición de función medible, y U es medible por ser abierto, luego