En matemática, un semirretículo superior es un conjunto parcialmente ordenado en el que existe un supremo para todo subconjunto no vacío finito.
Dualmente, un semirretículo inferior es un conjunto parcialmente ordenado en el que existe un ínfimo para todo subconjunto no vacío finito.
Los semirretículos también pueden definirse algebraicamente: el supremo y el ínfimo son operaciones binarias asociativas, conmutativas, idempotentes y cualquiera operación de estas características induce un orden parcial (así como el correspondiente orden inverso) de modo que el resultado de la operación para dos elementos cualesquiera es el supremo (o ínfimo, en su caso) de los elementos con respecto a ese orden parcial.
Algebraicamente, un retículo es un conjunto con dos operaciones binarias asociativas, conmutativas e idempotentes, enlazadas por las correspondientes leyes de absorción.
Un conjunto S parcialmente ordenado por la relación binaria ≤ es un semirretículo inferior si {x, y}.
Al reemplazar "ínfimo" por "supremo" se obtiene el concepto dual de semirretículo superior.
Un semirretículo superior es acotado si tiene un elemento menor, el supremo del conjunto vacío.
Dualmente, un semirretículo inferior se dice acotado si tiene un elemento mayor, el ínfimo del conjunto vacío.
Es posible suponer otras propiedades; véase el artículo sobre completitud en la teoría del orden para más detalles.
Un "semirretículo inferior" es una estructura algebraica ⟨S, ∧⟩ consistente en un conjunto S con una operación binaria ∧, llamada ínfimo, tal que para todos los miembros x, y y z de S se cumplen las siguientes identidades: Un semirretículo inferior ⟨S, ∧⟩ se dice acotado si en S existe un elemento neutro 1 tal que x ∧ 1 = x para todo x en S. Si el símbolo ∧ se reemplaza por el símbolo ∨ en la definición anterior para designar una operación binaria llamada supremo, la estructura se denomina semirretículo superior.
Es posible ser ambivalente en cuanto al símbolo a usar, hablando simplemente de semirretículos.
Un semirretículo inferior induce un orden parcial declarando x≤y cada vez que x∧y=x.
En el caso de un semirretículo superior, el orden se induce declarando x≤y cada vez que x∨y=y.
Un semirretículo inferior en términos de la teoría del orden ⟨S, ≤⟩ da origen a una operación binaria ∧ tal que ⟨S, ∧⟩ es un semirretículo inferior en términos algebraicos.
La relación ≤ introducida de esta manera define un orden parcial, del cual es posible recuperar la operación binaria ∧.
Para semirretículos superiores y el orden dual ≥ se verifica una conclusión similar.
Si tanto S como T contienen un elemento menor 0, f puede ser también un homomorfismo monoide, si es que adicionalmente se requiere que Para la formulación en términos de la teoría del orden, estas condiciones simplemente sostienen que un homomorfismo de semirretículos superiores es una función que conserva supremos y elementos menores, de existir.
de los retículos algebraicos con homomorfismos superiores completos que conserven la compacidad como sigue.
y a cada homomorfismo superior completo preservante de la compacidad
Este concepto no requiere más que una única operación y generaliza la condición de distributividad para retículos.
Hoy en día, el término «semirretículo completo» no tiene una significación generalmente aceptada y existen varias definiciones inconsistentes entre sí.
Si la completitud se entiende como exigencia de que existan todos los supremos o ínfimos, en su caso, como también todos los finitos, esto inmediatamente lleva a órdenes parciales que constituyen, de hecho, retículos completos.
Porque la existencia de todos los supremos infinitos posibles conlleva la existencia de todos los ínfimos infinitos posibles (y viceversa), véase el artículo completitud en la teoría del orden.
Sin embargo, en la literatura ocasionalmente aún se entiende que los semirretículos superiores o inferiores son retículos completos.
En este caso, «completitud» denota una restricción del alcance de los homomorfismos.
Específicamente, para un semirretículo superior completo se requiere que los homomorfismos preserven todos los supremos, pero contrariamente a la con la que nos encontramos en el caso de las propiedades de completitud, esto no requiere que los homomorfismos preserven todos los ínfimos.
El adjunto superior (único) correspondiente será entonces un homomorfismo de semirretículos inferiores completos.
Si una estructura tal además tiene un elemento mayor (el ínfimo del conjunto vacío) , resulta ser a su vez un retículo completo.
Por lo anterior, a los dominios de Scott se los ha denominado semirretículos algebraicos.
Por ejemplo, el funtor olvido desde la categoría de los semirretículos superiores (y sus homomorfismos) a la categoría de los conjuntos (y funciones) admite un adjunto izquierdo.