Objeto libre
De manera informal, un objeto libre sobre un conjunto A puede pensarse como la estructura algebraica "genérica" sobre A, deducida a partir de su definición: las únicas ecuaciones que se cumplen entre sus elementos son aquellas que se derivan de los axiomas de la estructura algebraica.
Forma parte del álgebra universal, puesto que se relaciona a todos los tipos de estructura algebraica (con operaciones finitas).
Una transformación lineal u : E1 → E2 entre espacios vectoriales esta totalmente determinada por sus valores en una base de E1.
La siguiente definición es una traducción de este hecho a cualquier categoría.
Sea C una categoría, B un conjunto denominado base, F ∈ C un objeto y i : B → F una función llamado el encaje canónico.
Se dice que F es un objeto libre sobre la base B (con respecto al encaje canónico i) si y solo si satisfacen la siguiente propiedad universal: Para cualquier objeto O y cualquier función f : B → O, existe un único morfismo
En la teoría de categorías no hay funciones, solo morfismos.
Por lo tanto la función i : B → F no está bien definida.
Dos pasos proceden en la creación de un objeto libre.
En el segundo paso se define una relación de equivalencia a las cadenas de caracteres, donde las relaciones son las relaciones que definen al objeto algebraico que se está manejando.
Considera, por ejemplo, la construcción del grupo libre en dos generadores.
Empieza uno con un alfabeto que consiste de cinco elementos
En el primer paso, todavía no se le ha asignado un significado a las "palabras"
incluye palabras como "aebecede" o "aa", de cualquier longitud, y con todas las letras ordenadas de cualquier manera posible.
En el siguiente paso, le impone uno una relación de equivalencia al conjunto
Si aplicamos estas relaciones a las palabras de arriba uno obtiene: En donde c se interpreta como
Un ejemplo más simple es el de monoide libre.
Un monoide libre sobre un conjunto X, es el monoide de todas las palabras que tienen a X como alfabeto, con la concatenación de las palabras como la operación.
En el caso general, las relaciones algebraicas no necesariamente son asociativas.
Tal palabra podría ser representada por un árbol binario o una magma libre; las hojas de los árboles son las letras del alfabeto.
Enumerar o describir propiamente los contenidos de un objeto libre puede ser fácil o difícil, dependiendo de la estructura algebraica del objeto en cuestión.
Por ejemplo, el grupo libre en dos generadores puede ser fácilmente descrito.
Como lo sugieren los ejemplos, los objetos libres parecen construcciones de la sintaxis; pero uno puede revertir esto, hasta cierto grado, diciendo que la mayoría de los usos de la sintaxis se pueden explicar y caracterizar como objetos libres, de tal forma que haga explicable la aparente puntuación exagerada.
, que a veces es llamado universo, y
Considere una categoría C de estructuras algebraicas, que podrían pensarse como conjuntos con operaciones obedeciendo ciertas leyes.
El funtor de olvido se comporta de manera muy sencilla: simplemente ignora las operaciones y enviaría cada estructura algebraica a su conjunto subyacente y cada morfismo a su función equivalente entre conjuntos.
Para que el funtor libre sea adjunto izquierdo, uno debe de tener también un morfismo en C'
De manera explícita, F está, salvo isomorfismo en C, caracterizado por la siguiente propiedad universal: Para toda A álgebra en C, y g:X→U(A) función (un morfismo en la categoría de los conjuntos), existe un único morfismo en C h: F(X)→A tal que U(h)oη = g. Concretamente, este manda un conjunto en un objeto libre sobre ese conjunto; es la "inclusión de una base".
Esto nos llevaría a la siguiente observación: el funtor libre existe cuando C es una mónada sobre Set.
Hay algunos teoremas generales de existencia del funtor libre; el más básico de ellos nos asegura que Siempre que C sea una variedad, entonces para todo conjunto X hay un objeto libre F(X) en C. Aquí, una variedad es un sinónimo de una categoría algebraica finitista, lo que nos dice que el conjunto de relaciones son finitistas, y algebraico por ser una mónada sobre Con.
