Mónada (teoría de categorías)
En Teoría de categorías, una rama de matemáticas, una mónada (también llamada terna, tríada, construcción estándar o construcción fundamental) es un endofunctor (un functor desde una categoría hacia ella misma), junto con dos transformaciones naturales.
[1] Las mónadas son utilizadas en la teoría de pares de functores adjuntos, y generalizan los operadores de clausura en conjuntos parcialmente ordenados a categorías arbitrarias.
son un par de funtores adjuntos, con
adjunto izquierdo a G, entonces la composición
Si F y G son funtores inversos, la correspondiente mónada es el functor identidad.
En general, las adjunciones no son equivalencias; relacionan categorías de naturalezas diferentes.
La teoría de mónadas es relevante como parte del esfuerzo por capturar qué es lo que preservan las adjunciones.
constituye la teoría dual de comónadas.
Los axiomas de una mónada pueden verse en un ejemplo simple: sea
Esto significa que la mónada toma un conjunto
En esta situación, nos han dado dos morfismos naturales: que se obtiene incluyendo cualquier conjunto
Esto nos deja dos transformaciones naturales y Que satisfarán algunos axiomas sobre identidad y asociatividad resultantes de las propiedades de la adjunción.
, y que lleva las aplicaciones lineales a su producto tensor.
Tenemos entonces transformaciones naturales correspondiendo a la incrustación de V en su álgebra tensorial, y una transformación natural correspondiendo a la aplicación desde
que se obtiene simplemente expandiendo todos los productos tensoriales.
Estas satisfacen los axiomas de mónada.
A los que se les requiere que cumplan las siguientes condiciones (a veces llamadas condiciones de coherencia): Podemos reescribir esas condiciones usando los siguientes diagramas conmutativos: Véase el artículo sobre transformaciones naturales para una explicación de las notaciones
, o véanse los siguientes diagramas, que no usan esa notación: El primer axioma es similar a la asociatividad en monoides, el segundo axioma a la existencia de un elemento identidad.
puede ser definida de forma alternativa como un monoide en la categoría
cuyos objetos son los endofuntores de
y cuyos morfismos son las transformaciones naturales entre ellos, con la estructura monoidal inducida por la operación de composición entre endofuntores.
Las mónadas son usadas en programación funcional para expresar algunos tipos de computación secuencial (incluyendo en ocasiones efectos secundarios).
Véase el artículo sobre mónadas en programación funcional.
