Límite directo

En matemática, un límite directo (también llamado límite inductivo) es un colímite de una "familia directa de objetos".De manera general, se expondrá primero la definición para estructuras algebraicas como grupos y módulos, y luego la definición general, la cual puede ser usada en cualquier categoría.En esta sección los objetos pueden ser entendidos como conjuntos con una estructura algebraica dada como pueden ser grupos, anillos, módulos (sobre algún anillo fijado), álgebras (sobre un cuerpo fijado), etc. Con esto en mente, los homomorfismos son entendidos en el correspondiente marco (homomorfismos de grupos, etc.).Se comienza con la definición de un sistema directo de objetos y homomorfismos.El conjunto subyacente del límite directo,se define como la unión disjunta de's módulo una cierta relación de equivalenciaHeurísticamente, dos elementos de un conjunto disjunto son equivalentes si y solo si "eventualmente se vuelven iguales" en el sistema directo.Una formulación equivalente que destaca la dualidad con el límite inverso es que un elemento es equivalente a todas sus imágenes bajo los morfismos de un sistema direccionado , i.e.Se obtiene naturalmente de esto la definición morfismos canónicosson definidas a esos morfismos de manera obvia.Una propiedad importante es que tomar límites directos en la categoría de módulos es un funtor exacto.El límite directo puede ser definido en una categoría arbitrariapor medio de una propiedad universal.un sistema directo de objetos y morfismos en(la misma definición que anteriormente).El límite directo de este sistema es un objetoque realiza que el diagrama conmute para todo i, j. El límite directo es a menudo denotado como con el sistema directo,A diferencia de los objetos algebraicos, el límite directo no puede existir en una categoría algebraica.Sin embargo, si lo hace, es único en un sentido fuerte: dado otro límite directo X′ existe un único isomorfismo X′ → X conmutando con los morfismos canónicos.Nótese que un sistema directo en una categoríaadmite una descripción alternativa en términos de funtores.cualquier conjunto parcialmente ordenado direccionadoUn sistema directo entonces es justamente un funtor covarianteun funtor constante para algún objeto fijadoSe define para cada funtores llamado límite directo de F y también se denota comoes una categoría abeliana, entonces sumas directas arbitrarias (y también infinitas) de objetos existen (este es el axioma de Grothediecks AB3).y es un funtor aditivo exacto derecho de categorías abelianas.Conceptos más generales son los límites y colímites de teoría de categorías.