En matemáticas, especialmente en análisis funcional, una C*-álgebra (pronunciado "C estrella álgebra") es un álgebra de Banach con una involución satisfaciendo propiedades similares a las de los operadores adjuntos.
junto a dos propiedades adicionales: Otra clase importante de C*-álgebra corresponde al álgebra de funciones continuas
Las álgebras C*-álgebras se consideraron en un principio por su uso en mecánica cuántica.
Esta línea de investigación comenzó con los estudios de Werner Heisenberg en mecánica matricial y en una forma más rigurosa por Pascual Jordan en 1933.
Posteriormente, John von Neumann intentó establecer un marco general para estas álgebras, que culminó en una serie de artículos sobre anillos de operadores.
La descripción expuesta aquí corresponde a la caracterización dada en el trabajo Gelfand y Naimark en 1943.
sobre el cuerpo de los números complejos, en conjunto con una función
Sin embargo estas dos condiciones son equivalentes y esto ha causado que los términos "B* identidad" o "B*-álgebras" hayan sido dejados de usar con el tiempo.
El término B*-álgebra fue introducido por C. E. Rickart en 1946 para describir *-álgebras de Banach que satisfacen la condición: Esta condición automáticamente implica que la *-involución es isométrica, esto es,
E Segal en 1947 para describir sub álgebras cerradas (bajo la norma operatorial) de
La letra 'C' proviene por la palabra closed (cerrado en inglés).
[3][4] En su artículo Segal define una C*-álgebra como un "álgebra uniformemente cerrada de operadores acotados y autoadjuntos sobre un espacio de Hilbert".
[5] Las c*-álgebras tienen una gran cantidad de propiedad que son técnicamente convenientes.
Algunas de estas propiedades pueden ser establecidas usan el cálculo funcional continuo o por reducción a C*-álgebras conmutativas.
son para todos los propósitos prácticamente iguales; se diferencian solamente en la notación de sus elementos.
Elementos auto adjuntos son aquellos de la forma
Elementos de este cono son llamados no-negativos (o a veces positivos, incluso si esta terminología entra en conflicto con los elementos de
se convierte en una C*-álgebra si utilizamos la norma de operador viendo a la matriz como un operador lineal del espacio
Cada C*-álgebra conmutativa con elemento unidad es *-isomorfa a una tal álgebra
que se anulan en el infinito (definido en el artículo sobre la compacidad local), entonces éstas forman una C*-álgebra conmutativa
usualmente se escribe a este subconjunto de
es no vacío y satisface la fórmula del radio espectral:
es igual a su radio espectral: Esto se aplica en particular para todo
De este modo la estructura algebraica determina la norma (y por lo tanto la topología).
Es esta propiedad la responsable de que los *-morfismos son automáticamente continuos (particularmente aquellos inyectivos serán isometrías).
(es decir, conmuta con su adjunto), entonces existe un *-isomorfismo isométrico entre el álgebra de las funciones continuas sobre el espectro
Dicho de otra forma, para toda función continua
[7] Gracias a Gelfand, Naimark y Segal existe la construcción de un isomorfismo *-isométrico (o también llamada una representación fiel) entre toda C*-álgebra, y una subálgebra cerrada del álgebra de operadores sobre un cierto espacio de Hilbert (el cual se construye al mismo tiempo que el isomorfismo).
En teoría cuántica de campos, se describe típicamente un conjunto físico con una C*-álgebra
) se interpretan como observables, las cantidades medibles, del sistema.