En matemática, teoría espectral es un término inclusivo para las teorías que extienden la teoría de vectores y valores propios de una matriz cuadrada a la más amplia teoría de la estructura de operadores en ciertos espacios matemáticos.
[2] La teoría está conectada con la de funciones analíticas debido a que las propiedades espectrales de un operador están estrechamente relacionados con las funciones analíticas del parámetro espectral.
[3] La denominación teoría espectral fue introducida por David Hilbert en su formulación original de la teoría del espacio de Hilbert, que fue lanzada en términos de formas cuadráticas en infinitas variables.
El posterior descubrimiento en mecánica cuántica de que la teoría espectral podría explicar las características del espectros atómicos fue por lo tanto fortuita.
Históricamente, hay tres modos principales de formular teoría espectral, todos los cuales mantienen su utilidad.
Este desarrollo conduce a la representación de Gelfand, que cubre el caso conmutativo, e incluso al análisis armónico no conmutativo.
La transformada de Fourier en la recta real es, en cierto sentido, la teoría espectral de diferenciación vía el operador diferencial.
Por ejemplo, los operadores compactos en espacios de Banach tienen muchas propiedades espectrales similares a la de matrices.
El trasfondo de la física de vibraciones ha sido explicado de esta manera:[5] La teoría matemática no depende de tales consideraciones físicas a nivel técnico, pero hay ejemplos de la influencia mutua (ver por ejemplo el artículo de Mark Kac Can you hear the shape of a drum?).
La adopción por parte de Hilbert del término 'espectro' se ha atribuido a un documento de 1897 de Wilhelm Wirtinger sobre la ecuación diferencial de Hill (por Jean Dieudonné), y fue asumido por sus estudiantes durante la primera década del siglo XX, entre ellos por Erhard Schmidt y Hermann Weyl.
[6][7] Fue casi veinte años después, cuando la mecánica cuántica se formula en términos de la ecuación de Schrödinger, que se realiza la conexión con espectros atómicos.
una aplicación lineal acotada definida sobre un espacio de Banach.
, se define como: Si tal inversa existe,
es el conjunto de todos los números complejos
Este conjunto se denota a menudo como
es el conjunto de todos los números complejos
es por lo tanto el complemento del conjunto resolvente de
[10] Esta definición se aplica a espacios de Banach, pero también a otros tipos de espacios más generales, por ejemplo, los espacios vectoriales topológicos.
En particular, para todo operador autoadjunto, el espectro se encuentra en la línea real y (en general) es un combinación espectral de un espectro puntual de valores propios discretos y de un espectro continuo[14] En análisis funcional y álgebra lineal, el teorema espectral establece las condiciones bajo las cuales un operador puede ser expresado en forma simple como suma de operadores más simples.
Como una presentación completamente rigurosa no es apropiada para este artículo, tomamos un enfoque que evita gran parte del rigor de un tratamiento formal con el objetivo de ser más comprensible para un no especialista.
[15] [16] A modo de ejemplo, un operador lineal muy particular L puede ser escrito como producto diádico:[17][18] en términos del bra
se denota como: y la magnitud de
Este elección de producto escalar define un espacio prehilbertiano específico, lo que restringe la generalidad de los argumentos que siguen.
forman una base dual del espacio.
Los valores propios se encuentran en el espectro de
poseen una expansión en serie de otros operadores?
expresarse en términos funciones propias (forman una base de Schauder) y bajo qué circunstancias surge un espectro puntual o un espectro continuo?
¿Cómo los formalismos de espacios infinitodimensionales y espacios de dimensión finita son diferentes?
¿Estas ideas pueden extenderse a una clase más amplia de espacios?
Responder a estas preguntas es el cometido de la teoría espectral y requiere conocimientos considerables en análisis funcional y álgebra matricial.