(sobre el mismo cuerpo base, ya sean los números reales
Debido a esta propiedad, los operadores lineales continuos también se conocen como acotados.
se puede tomar el elemento supremo e ínfimo de los números
, de modo que la desigualdad anterior sea válida para todos los
Este número representa el factor escalar máximo por el cual
se mide por cuánto "alarga" los vectores en el caso "más grande".
como El mínimo se alcanza cuando el conjunto de todos esos
es cerrado, no vacío y acotado inferiormente.
Si se eligen específicamente espacios euclídeos tanto en
es la raíz cuadrada del valor propio más grande de la matriz
[3] Esto equivale a asignar el valor singular más grande de
Las primeras cuatro definiciones son siempre equivalentes, y si además
y las fórmulas son válidas para cualquier
RC James demostró el conocido como teorema de James en 1964, en el que se establece que un espacio de Banach
[4] De ello se deduce, en particular, que todo espacio de Banach no reflexivo tiene algún funcional lineal acotado (un tipo de operador lineal acotado) que no alcanza su norma en la bola unitaria cerrada.
Esto significa que La siguiente desigualdad es una consecuencia inmediata de la definición: La norma del operador también es compatible con la composición o multiplicación de operadores: si
son tres espacios normados sobre el mismo cuerpo base, y
, esto implica que la multiplicación de operadores es conjuntamente continua.
De la definición se deduce que si una secuencia de operadores converge en la norma del operador, es uniformemente convergente en conjuntos acotados.
Al elegir normas diferentes para el codominio, utilizado en el cálculo de
, se obtienen valores diferentes para la norma del operador.
Algunas normas comunes de los operadores son fáciles de calcular y otras son NP-hard (no determinables en tiempo polinómico).
operaciones para obtener la respuesta exacta, o menos si se aproxima con el método de las potencias o las iteraciones de Lanczos).
Debido a que hay entradas distintas de cero en la superdiagonal, se puede violar la igualdad.
Los operadores cuasinilpotentes son una clase de tales ejemplos.
es normal, su forma canónica de Jordan es diagonal (excepto la equivalencia unitaria), lo que se traduce en el teorema de descomposición espectral.
En ese caso es fácil ver que Esta fórmula a veces se puede utilizar para calcular la norma del operador de un operador acotado
, determínese su radio espectral y tómese la raíz cuadrada para obtener la norma del operador de
, con topología inducida por la norma del operador no es separable.
Esto implica que el espacio de operadores acotados en