En un lenguaje más abstracto, el teorema espectral es una declaración sobre C*-álgebras conmutativas.
Un operador normal sobre un espacio de Hilbert complejo H es una aplicación lineal continua N : H → H que conmuta con su operador adjunto N* , es decir: NN* = N*N.[2] Los operadores normales son importantes porque cumplen el teorema de descomposición espectral.
Son entidades bien estudiadas, y existen numerosos ejemplos, como: El teorema espectral se extiende a una clase más general de matrices.
A diferencia del caso hermítico, los elementos de D no necesitan ser reales.
El operador C puede ser definido por C(Bh)= Ah, extendido por continuidad hasta el cierre de Ran(B), y por cero en el complemento ortogonal de Ran(B).
Cuando H es de dimensión finita, U puede extenderse a un operador unitario; esto no es cierto en general (véase el ejemplo anterior).
Por las propiedades del cálculo funcional continuo, |A| está en la C*-álgebra generada por A.
Una declaración similar pero más débil vale para la isometría parcial: la parte polar U está en el álgebra de von Neumann generada por A.
Por ejemplo, el teorema de Beurling describe los subespacios invariantes del cambio unilateral en términos de funciones internas, que son funciones holomorfas acotadas en el disco unitario con valores límite unimodulares en casi todas partes del círculo.
Beurling interpretó el cambio unilateral como una multiplicación por la variable independiente en el espacio de Hardy.
El mapa * tiene las siguientes propiedades:[5] Observación: las primeras tres identidades dicen que A es un *-álgebra.
Por ejemplo, junto con la fórmula del radio espectral, implica que la norma C* está determinada únicamente por la estructura algebraica: