Álgebra de Banach

En matemáticas, especialmente en el análisis funcional, un álgebra de Banach, que lleva el nombre del matemático Stefan Banach, es un álgebra asociativaLlamaremos a un álgebra de Banach real o compleja cuando es sobre el cuerpo de los números reales o complejos respectivamente.el cual no es difícil ver que corresponde a un ideal deEs importante tener en mente que no todo homomorfismo entre álgebras de Banach es continuo.Un álgebra de Banach es llamada unitaria si posee un elemento neutro o unidad, esto es, existeSin embargo este no siempre es el caso, por ejemplo no es posible definir todas las funciones trigonométricas en un álgebra de Banach sin la existencia de la unidad.Otro ejemplo común ocurre en el caso de las C*-álgebras, donde siSupondremos en esta parte que el álgebra de Banaches continua, transformando a este espacio en un grupo topológico.{\displaystyle C_{0}(X):=\left\{f:X\rightarrow \mathbb {C} ,\,\,{\text{continuas que se anulan en el infinito}}\right\}}se transforma en un álgebra de compleja mediante la operación puntual, estos es, dadasSi se añade la condición de que el espaciosea compacto, entonces la condición "anular en el infinito" desaparece, es decir,se vuelve unitaria, cuya unidad corresponde a la funciónen donde la norma del supremo se vuelve en el valor absoluto usual de los números complejos.corresponde a la norma del espacio de Banachentonces no resulta difícil ver que el álgebra de Banach(puede ser extendido a un cuerpo normado completo e involutivo).Otra propiedad importante de la unidad corresponde a que ésta no puede ser un conmutador, es decir, para todoUna forma de justificar esto corresponde a que los elementostienen el mismo espectro con excepción (no siempre) delLos elementos que conmutan entre sí cumplen muchas propiedades como por ejemplo el Teorema del binomiousualmente se escribe a este subconjunto deMás aún, el espectro de todo elementoes no vacío y satisface la fórmula del radio espectral:no es invertible (el espectro nunca es vacío), por lo tanto necesariamente, por lo tanto esta álgebra es naturalmente isomorfa a los números complejoses entonces un anillo conmutativo con unidad, todo elemento no invertible de, y a sus miembros "caracteres" (se pronuncia "kaɾak̚ˈtɛɾ", con acentuación en la e).(funciones continuas a valores complejos en el espacio compacto