Las álgebras de von Neumann fueron introducidas originalmente por John von Neumann, motivadas por su estudio de la teoría del operador único, la representación de grupos, la teoría ergódica y la mecánica cuántica.
El teorema del doble conmutador de von Neumann muestra que la definición analítica es equivalente a una definición puramente algebraica como álgebra abstracta de simetrías.
El libro de Connes (1994) discute temas más avanzados.
La segunda definición es que un álgebra de von Neumann es una subálgebra de los operadores acotados cerrados bajo involución (la *-operación) e igual a su doble conmutador, o equivalentemente el conmutador de alguna subálgebra cerrada bajo *.
El teorema del doble conmutados de von Neumann (von Neumann, 1930) dice que las dos primeras definiciones son equivalentes.