Topologías de operadores

Esto podría tener varios significados diferentes:[2]​ Existen numerosas topologías que se pueden definir en B(X) además de las utilizadas anteriormente.

En análisis, una topología se llama fuerte si tiene muchos conjuntos abiertos, y débil si tiene pocos conjuntos abiertos, de modo que los modos de convergencia correspondientes son, respectivamente, fuerte y débil.

Si B es un espacio vectorial de aplicaciones lineales en el espacio vectorial A, entonces σ(A, B) se define como la topología más débil en A, de modo que todos los elementos de B sean continuos.

Los funcionales lineales continuos en B(H) para las topologías (de operadores) débil, fuerte y fuerte* son los mismos y son las combinaciones lineales finitas de los funcionales lineales (xh1, h2) para h1, h2 ∈ H. Los funcionales lineales continuos en B(H) para las topologías ultradébil, ultrafuerte, ultrafuerte* y de Arens-Mackey son los mismos y son los elementos del predual B(H)*.

Esto se puede ver, por ejemplo, a través del teorema de Banach-Alaoglu.

Sin embargo, en el caso de que H sea separable, todas las topologías anteriores son metrizables cuando se restringen a la bola unitaria (o a cualquier subconjunto delimitado por normas).

Las topologías de operadores más utilizadas son la normal, la fuerte y la débil.

La topología normal es fundamental porque convierte a B(H) en un espacio de Banach, pero es demasiado fuerte para muchos propósitos.

Las topologías de operadores ultradébil y ultrafuerte se comportan mejor que las topologías débil y fuerte, pero sus definiciones son más complicadas, por lo que normalmente no se utilizan a menos que realmente se necesiten específicamente algunas de sus propiedades.

La aplicación adjunta no es continua en las topologías de operadores fuerte y ultrafuerte, mientras que las topologías fuerte* y ultrafuerte* son modificaciones para que el adjunto se vuelva continuo.