Los espacios de Banach reflexivos se suelen caracterizar por sus propiedades geométricas.
Se sigue del teorema de Hahn-Banach que
Un espacio de Banach X es reflexivo si es linealmente isométrico a su bidual bajo la incrustación canónica J. Un espacio de James es un ejemplo de un espacio no reflexivo que es linealmente isométrico a su bidual.
Además, la imagen del espacio de James bajo la incrustación canónica J tiene codimensión uno en su bidual.
[1] Un espacio de Banach X se llama cuasi-reflexivo (de orden d) si el cociente X ′′ / J(X) tiene dimensión finita d. 1) Todo espacio normado finito-dimensional es reflexivo, simplemente porque en este caso, el espacio, su dual y bidual tienen todos la misma dimensión lineal, y por tanto la aplicación lineal inyectiva J por definición es biyectiva, por el teorema rango-nulidad.
2) El espacio de Banach c0 de sucesiones escalares tendiendo a cero en el infinito, asociado a la norma del supremo, no es reflexivo.
En ambos casos, se puede elegir el subespacio para que los operadores sean diagonales con respecto a una base ortonormal dada de H. Si un espacio de Banach Y es isomorfo a un espacio de Banach reflexivo X, entonces Y es reflexivo.
Los siguientes enunciados son equivalentes: Dado que los subconjuntos convexos cerrados en norma en un espacio de Banach son débilmente cerrados,[8] se sigue de la tercera propiedad que los subconjuntos convexos acotados cerrados de un espacio reflexivo X son débilmente compactos.
Así, para toda sucesión decreciente de subconjuntos convexos acotados cerrados no vacíos, toda función convexa continua f sobre un subconjunto convexo cerrado C de X, tal que el conjunto es no vacío y acotado para algún número real t, tiene su valor mínimo en C. La propiedad geométrica de los espacios de Banach reflexivos es la siguiente: si C es un subconjunto convexo no vacío y cerrado del espacio reflexivo X, entonces para todo x en X existe un c en C tal que ǁx − cǁ minimiza la distancia entre x y los puntos de C. Esto se sigue del resultado anterior para funciones convexas aplicado a f(y) = ǁy − xǁ.
Nótese que mientras que la distancia mínima entre x y C está unívocamente determinada por x, el punto c no lo está.
El punto más cercano c es único cuando X es uniformemente convexo.
Como ejemplo elemental, todo espacio de Banach Y cuyos subespacios bidimensionales son isométricos a subespacios de X = ℓ2 satisfacen la ley del paralelogramo,[10] por tanto Y es un espacio de Hilbert y por tanto reflexivo.
Un espacio de Banach X es superreflexivo si todos los espacios de Banach Y finitamente representables en X son reflexivos, o, en otras palabras, si ningún espacio no reflexivo Y es finitamente representable en X.
Además de la estructura de árbol, se requiere que cada vector que sea un vértice interno del árbol sea el punto medio entre sus dos descendientes: Dado un número real positivo t, se dice que el árbol es t-separado si para todo vértice interno los dos descendientes son t-separados en la norma del espacio dado: Teorema.
Un espacio de Banach X es superreflexivo si y solo si para todo t ∈ (0, 2], existe un número n(t) tal que todo árbol t-separado contenido en la bola unidad de X tiene altura menor quen(t).Los espacios uniformemente convexos son superreflexivos.
Por las propiedades del módulo de convexidad, un árbol t-separado de altura n, contenido en la bola unidad, debe tener todos los puntos del nivel n − 1 contenidos en la bola de radio 1 − δX(t) < 1.
Por inducción, se sigue que todos los puntos del nivel n − j están contenidos en la bola de radio Si la altura n es lo bastante grande para que entonces los dos puntos x1, x−1 del primer nivel no pueden ser t-separados, contrariamente a la suposición.
,esto es, la topología de convergencia uniforme sobre subconjuntos acotados en
, que se llama espacio bidual fuerte de
es localmente convexo, se sigue del teorema de Hahn-Banach que
es inyectiva y abierta (esto es, para todo entorno del cero
1) Todo espacio vectorial topológico de Hausdorff finito-dimensional es reflexivo, ya que J es biyectiva por álgebra lineal, y porque existe una única topología de espacio vectorial de Hausdorff en un espacio vectorial finito-dimensional.
Esto se sigue del hecho de que para un espacio normado
Por otro lado, la idea de dualidad reflejada en esta noción es tan natural que lleva a la intuición de que cambios apropiados en la definición de reflexividad pueden llevar a otra noción, más conveniente para otros objetivos matemáticos.
Esto está siendo desarrollado en la teoría de espacios estereotipo, que se definen como espacios vectoriales topológicos que satisfacen una condición similar de reflexividad, pero con la topología de convergencia uniforme en subconjuntos totalmente acotados (en lugar de subconjuntos acotados) en la definición del espacio dual X’.
De forma más precisa, un espacio vectorial topológico
se define como el espacio de funcionales lineales continuos
dotado con la topología de convergencia uniforme en conjuntos totalmente acotados en
La categoría Ste tiene aplicaciones en teoría de dualidad para grupos no conmutativos.
Los espacios definidos por la condición de reflexividad correspondiente se llaman reflectivos,[18][19] y forman una clase incluso mayor que Ste, pero no es claro si esta clase forma una categoría con propiedades similares a las de Ste.