Espacio totalmente acotado
En topología y en otras ramas relacionadas de las matemáticas, el término totalmente acotado es una generalización de compacidad para aquellos casos en los que un conjunto no es necesariamente cerrado.
El término precompacto se utiliza a veces con el mismo significado, pero también se emplea para referirse a conjuntos relativamente compactos.
Estas definiciones coinciden para subconjuntos de espacios métricos completos, pero no en general.
cuyos centros se encuentran en M y cuya unión contiene a M. De manera equivalente, el espacio métrico M está totalmente acotado si y solo si para cada
Esto equivale a la existencia de una red ε finita.
[1] Se dice que un espacio métrico está totalmente acotado si toda secuencia admite una subsecuencia de Cauchy.
Lo contrario es cierto para los subconjuntos de un espacio euclídeo (con la topología del subespacio), pero no en general.
Por ejemplo, un conjunto infinito equipado con la métrica discreta está acotado pero no totalmente acotado:[3] cada bola discreta de radio
o menos es un elemento individual, y ninguna unión finita de elementos individuales puede cubrir un conjunto infinito.
Aparece una métrica en la definición de acotación total solo para garantizar que cada elemento del recubrimiento finito tenga un tamaño comparable y pueda reducirse al de una estructura uniforme.
[5] Sin un axioma de elección, solo se cumple la dirección hacia adelante.
Según la siguiente definición, lo mismo se aplica a cualquier espacio vectorial topológico (no necesariamente de Hausdorff ni completo).
[6][7][8] La forma general lígica de la definición es: un subconjunto
de cualquier tamaño, siempre existe un recubrimiento finito
Se adopta la convención de que, para cualquier entorno
[10][11] En ese caso, las siguientes condiciones también son equivalentes a que
esté totalmente acotado (a la izquierda): La definición de totalmente acotado a la derecha es análoga: simplemente cambia el orden de los productos.
es un conjunto completo compacto que no está cerrado.
Históricamente, la definición 1(b) fue la primera reformulación de la acotación total para espacios vectoriales topológicos, y data de un artículo publicado por John von Neumann en 1935.
[13] Esta definición tiene la atractiva propiedad de que, en un espacio localmente convexo dotado con una topología débil, los conjuntos precompactos son exactamente conjuntos acotados.
