En análisis funcional y en áreas relacionadas de las matemáticas, un conjunto en un espacio vectorial topológico se llama acotado o acotado de von Neumann, si cada entorno del elemento cero se puede expandir para incluir el conjunto.
El concepto fue introducido por primera vez por John von Neumann y Andréi Kolmogórov en 1935.
en el origen, entonces esta lista puede ampliarse para incluir: Si
es un espacio localmente convexo cuya topología está definida por una familia
de seminormas continuas, entonces esta lista puede ampliarse para incluir: Si
(o más generalmente, si es un seminorma y
es simplemente un seminorma),[nota 2] entonces esta lista puede ampliarse para incluir: Si
La colección de todos los conjuntos acotados en un espacio vectorial topológico
En cualquier EVT localmente convexo, el conjunto de discos cerrado y acotado es una base del conjunto acotado.
[1] A menos que se indique lo contrario, un espacio vectorial topológico (EVT) no necesita ser de Hausdorff ni localmente convexo.
[5] Un espacio localmente convexo tiene un entorno acotado de cero si y solo si su topología puede definirse mediante una única seminorma.
de números reales positivos tal que
son subconjuntos acotados de un espacio localmente convexo metrizable, entonces existe una secuencia
de números reales positivos tal que
En otras palabras, dada cualquier familia contable de conjuntos acotados en un espacio metrizable localmente convexo, es posible escalar cada conjunto según su propio real positivo para que queden uniformemente acotados.
Se dice que una familia de conjuntos
En el caso de un espacio normado (o seminormado), una familia
de aplicaciones lineales entre dos espacios normados (o seminormados)
un conjunto de operadores lineales continuos entre dos espacios vectoriales topológicos,
) si se cumple alguna de las siguientes condiciones: Dado que
Entonces, se define que es un subconjunto cerrado de
está cerrado garantiza la existencia de algún entero positivo
cualquier punto perteneciente a este subconjunto abierto de
cualquier entorno abierto equilibrado del origen en
QED Dado que cada subconjunto unitario de
también es un subconjunto acotado, se deduce que si
es un conjunto equicontinuo de operadores lineales continuos entre dos espacios vectoriales topológicos,
(no necesariamente de Hausdorff o localmente convexos), entonces la órbita
La definición de conjuntos acotados se puede generalizar a módulos topológicos.
está acotado si para cualquier entorno