Los espacios bornológicos se distinguen por la propiedad de que una aplicación lineal desde un espacio bornológico a cualquier espacio localmente convexo es continua si y solo si es un operador lineal acotado.
Los espacios bornológicos fueron estudiados por primera vez por George Mackey, y el nombre fue acuñado por Bourbaki en referencia a la palabra francesa "borné", con el significado de acotado.
que satisfacen todas las condiciones siguientes: Los elementos de la colección
- o simplemente conjuntos acotados si se sobrentiende la existencia de
se denomina estructura acotada o conjunto bornológico.
[1] Una base o sistema fundamental de una bornología
es la bornología que tiene como base la colección de todos los conjuntos con la forma
está acotado en la bornología del producto si y solo si su imagen bajo las proyecciones canónicas sobre
son conjuntos bornológicos, entonces se dice que una función
entonces, las siguientes expresiones son equivalentes: Una bornología vectorial
se llama separada si el único subespacio vectorial acotado de
son los números reales o los complejos, en cuyo caso una bornología vectorial
tiene una base que consta de conjuntos convexos.
es bornívoro si absorbe todos los conjuntos equilibrados acotados y en una bornología vectorial convexa,
[3] Cada subconjunto bornívoro de un espacio vectorial topológico metrizable localmente convexo es un entorno del origen.
si existe una secuencia de números reales positivos
al menos en un cuerpo valorado no discreto da una bornología en
está acotado si y solo si todas las seminormas continuas en
se denomina espacio cuasi bornológico[6] si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: Todo EVT pseudometrizable es cuasi bornológico.
en el que cada conjunto bornívoro es un entorno del origen es un espacio cuasi bornológico.
es un EVT cuasi bornológico, entonces la topología localmente convexa más fina en
En análisis funcional, un espacio localmente convexo es un espacio bornológico si su topología puede recuperarse de su bornología de forma natural.
se denomina espacio bornológico si es localmente convexo y se cumple cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: Si
es un espacio localmente convexo de Hausdorff, entonces se puede agregar a esta lista:[7] Todo operador lineal secuencialmente continuo desde un espacio bornológico localmente convexo hacia un EVT localmente convexo es continuo,[4] donde debe recordarse que un operador lineal es secuencialmente continuo si y solo si es secuencialmente continuo en el origen.
Así, para aplicaciones lineales desde un espacio bornológico a un espacio localmente convexo, la continuidad es equivalente a la continuidad secuencial en el origen.
Como consecuencia del teorema de Mackey-Ulam, "a todos los efectos prácticos, el producto de espacios bornológicos es bornológico.
[4][14] Existe un subespacio vectorial cerrado de un espacio bornológico localmente convexo que es completo (y por lo tanto, secuencialmente completo) pero no es barrilado ni es bornológico.
[4] Los espacios bornológicos no necesitan ser barrilados y los espacios barrilados no necesitan ser bornológicos.
[4] Debido a que todo espacio ultrabornológico localmente convexo es barrilado,[4] se deduce que un espacio bornológico no es necesariamente ultrabornológico.
se llama infrabornívoro si absorbe todos los discos de Banach.