Un conjunto barrilado o un barril en un espacio vectorial topológico es un conjunto que es convexo, equilibrado, absorbente y cerrado.
Los espacios barrilados se estudian porque todavía se les aplica una forma del principio de acotación uniforme.
[1] Un subconjunto equilibrado y convexo de un espacio vectorial real o complejo se denomina disco y se dice que tiene forma de disco, si es absolutamente convexo o equilibrado convexo.
Un barril o un conjunto barrilado en un espacio vectorial topológico (EVT) es un subconjunto que es un disco cerrado y absorbente; es decir, un barril es un subconjunto convexo, equilibrado, cerrado y absorbente.
es un conjunto convexo, equilibrado y absorbente de
, y es la única propiedad definitoria que no depende únicamente de subespacios vectoriales de dimensión
es cualquier EVT, entonces cada entorno cerrado, convexo y equilibrado del origen es necesariamente un barril en
(porque cada entorno del origen es necesariamente un subconjunto absorbente).
Sin embargo, en general, en este caso podrían existir barriles que no sean entornos del origen.
Cada espacio vectorial topológico de dimensión finita es un espacio barrilado, por lo que ejemplos barrilados que no son entornos del origen solo se pueden encontrar en espacios de dimensión infinita.
El cierre de cualquier subconjunto convexo, equilibrado y absorbente es barrilado.
Esto se debe a que el cierre de cualquier subconjunto convexo (respectivamente, cualquier subconjunto equilibrado o absorbente) tiene esta misma propiedad.
(si se considera un espacio vectorial complejo) o igual a
es un espacio vectorial real o complejo, cada barril en
el segmento de recta cerrado desde el origen hasta el punto
(un espacio vectorial real) pero es un subconjunto absorbente de
(un espacio vectorial complejo) si y solo si es un entorno del origen.
si y solo es una bola abierta o cerrada centrada en el origen (de radio
son exactamente esas bolas cerradas centradas en el origen con radio en
equilibrado, absorbente y cerrado que no sea convexo ni un entorno del origen, defínase
sea un entorno del origen), y luego extiéndase
es un espacio localmente convexo, esta lista de sentencias puede ampliarse añadiendo: Si
es un espacio localmente convexo de Hausdorff, entonces esta lista puede ampliarse añadiendo: Si
es un espacio vectorial topológico metrizable, entonces esta lista puede ampliarse añadiendo: Si
es un espacio vectorial topológico metrizable localmente convexo, entonces esta lista puede ampliarse añadiendo: Cada uno de los siguientes espacios vectoriales topológicos tiene un espacio barrilado: La importancia de los espacios barrilados se debe principalmente a los siguientes resultados: Teorema[20]Sea
Las siguientes declaraciones son equivalentes: El principio de acotación uniforme es un corolario del resultado anterior.
consta de números complejos, entonces también se cumple la siguiente generalización: Teorema[22]Si
es un subconjunto del espacio dual continuo de
, entonces los siguiente enunciados son equivalentes: Recuérdese que una aplicación lineal
Teorema del grafo cerrado[23]Cada operador lineal cerrado desde un EVT barrilado de Hausdorff a un EVT metrizable completo, es continuo.