En análisis funcional, un espacio F (también escrito en ocasiones F-espacio) es un espacio vectorial
sobre los números reales o complejos junto con una métrica
tal que: La operación
se denomina norma F, aunque en general no es necesario que una norma F sea homogénea.
Con invariancia a la traslación, la métrica se puede recuperar de la norma F. Por lo tanto, un espacio F real o complejo es equivalente a un espacio vectorial real o complejo equipado con una norma F completa.
Algunos autores utilizan el término espacio de Fréchet en lugar de espacio F, pero normalmente el término "espacio de Fréchet" está reservado para los espacios F localmente convexos.
Algunos otros autores utilizan el término "espacio F" como sinónimo de "espacio de Fréchet", con lo que se refieren a un espacio vectorial topológico metrizable completo localmente convexo.
La métrica puede ser o no ser necesariamente parte de la estructura en un espacio F. Muchos autores solo requieren que dicho espacio sea metrizable, de manera que satisfaga las propiedades anteriores.
Todos los espacios de Banach y los espacios de Fréchet son espacios F. En particular, un espacio de Banach es un espacio F con un requisito adicional de que
d ( a x , 0 ) =
[1] Los espacios Lp se puede convertir en espacios F para todos los
se pueden convertir en espacios localmente convexos y, por lo tanto, en espacios de Fréchet e incluso en espacios de Banach.
es un espacio F. No admite seminormas continuas ni funcionales lineales continuos; tiene espacio dual trivial.
el espacio de todas las serie de Taylor con valores complejos en el disco unitario
, de modo que entonces, para
son espacios F bajo espacios Lp: De hecho,
es un álgebra casi de Banach.
es lineal acotada (funcional multiplicativo) en
una métrica cualquiera[nota 1] en un espacio vectorial
tal que la topología
en un espacio vectorial topológico.
es un espacio métrico completo, entonces
es un espacio vectorial topológico completo.
El teorema de la función abierta implica que si
que convierten a
en espacios vectoriales topológicos metrizables completos (por ejemplo, de Banach o de Fréchet) y si una topología es más fina o más gruesa que la otra, entonces deben ser iguales (es decir, si