En matemáticas, los espacios nucleares son espacios vectoriales topológicos que pueden verse como una generalización del espacio euclídeo de dimensión finita, con los que comparten muchas de sus propiedades deseables.
Todos los espacios vectoriales de dimensión finita son nucleares.
En la práctica, a menudo se presenta una especie de caso contrario: si un espacio vectorial topológico "que aparece naturalmente" no es un espacio de Banach, entonces es muy probable que sea un espacio nuclear.
tiene topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados) y, además, ambos espacios son canónicamente EVTs-isomorfos a
[2] En resumen, el teorema del núcleo de Schwartz establece que: donde todos estos espacios vectoriales topológicos son canónicos.
Este resultado es falso si se reemplaza el espacio
(que es un espacio reflexivo que es incluso isomorfo a su propio espacio dual fuerte) y se reemplaza
(que generalmente se considera uno de los EVTs "con mejor comportamiento")?
Esta pregunta llevó a Grothendieck a descubrir los espacios nucleares, las aplicaciones nucleares y el producto tensorial inyectivo.
Téngase en cuenta que algunos autores utilizan una definición más restrictiva de espacio nuclear, añadiendo la condición de que el espacio también debe ser un espacio de Fréchet (esto significa que el espacio está completo y la topología está dada por una familia de seminormas numerable).
es un embebido de un EVT cuya imagen es densa en el codominio (donde el dominio
es el producto tensorial proyectivo y el codominio es el espacio de todas las formas bilineales continuas por separado en
Para cualquier seminorma, la bola unitaria es un entorno simétrico convexo cerrado del origen y, a la inversa, cualquier entorno simétrico convexo cerrado de 0 es la bola unitaria de alguna seminorma (para espacios vectoriales complejos, la condición "simétrico" debe reemplazarse por "equilibrado").
es nuclear cuando se cumple una condición más fuerte, a saber, que estas aplicaciones son operadores nucleares.
La condición de ser un operador nuclear es sutil, y en el artículo correspondiente hay más detalles disponibles.
Informalmente, esto significa que siempre que se considera la bola unitaria de alguna seminorma, se puede encontrar una bola unitaria "mucho más pequeña" de otra seminorma dentro de ella, o que cualquier entorno de 0 contiene un entorno "mucho más pequeño".
No es necesario verificar esta condición para todas las seminormas
, y basta con comprobar si hay un conjunto de seminormas que generan la topología, es decir, un conjunto de seminormas que son una subbase para la topología.
proviene de una forma semidefinida positiva sesquilineal en
más grande, por lo que la aplicación natural de
más grande, por lo que la aplicación natural de
Si se opta por utilizar el concepto de operador nuclear desde un espacio vectorial topológico localmente convexo arbitrario a un espacio de Banach, se pueden dar definiciones más breves como las siguientes: Definición 4: un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico localmente convexo tal que para cualquier seminorma
Grothendieck utilizó una definición similar a la siguiente: Definición 6: un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico localmente convexo
tal que para cualquier espacio vectorial topológico localmente convexo
la aplicación natural del producto tensorial proyectivo al inyectivo de
es un espacio de Fréchet, entonces las siguiente proposiciones son equivalentes: Supóngase que
son espacios localmente convexos y que
Los espacios nucleares son en muchos aspectos similares a los espacios de dimensión finita y tienen muchas de sus propiedades deseables.
el teorema de Bochner-Minlos (en referencia a Salomon Bochner y a Robert Adol'fovich Minlos) garantiza la existencia y unicidad de una medida de probabilidad
es decir, la existencia de la medida gaussiana en el espacio dual.