En matemáticas, el producto tensorial inyectivo de dos espacios vectoriales topológicos (EVTs) fue introducido por Alexander Grothendieck, que lo utilizó para definir los espacios nucleares.
Los productos tensoriales inyectivos tienen aplicaciones fuera de los espacios nucleares.
En particular, como se describe a continuación, muchos EVTs que se definen para funciones con valores reales o complejos, por ejemplo, el espacio de Schwartz o el espacio de funciones continuamente diferenciables, se pueden extender inmediatamente a funciones valoradas en un EVT localmente convexo de Hausdorff
Téngase en cuenta que casi todos los resultados descritos son independientes de si estos espacios vectoriales están sobre
, pero para simplificar la exposición se asume que están sobre el cuerpo
es una construcción puramente algebraica (su definición no implica ninguna topología), el espacio vectorial
El siguiente teorema se puede utilizar para verificar que TeoremaSean
De ahora en adelante, se supondrá que todos los espacios vectoriales topológicos considerados son localmente convexos.
y siempre que un espacio vectorial esté dotado de la topología
[9] Una razón para converger en subconjuntos equicontinuos (de todos los tipos) es el siguiente hecho importante: La topología de un EVT está completamente determinada por los entornos abiertos del origen.
Así, a través de esta identificación, la convergencia uniforme en la colección de subconjuntos equicontinuos es esencialmente una convergencia uniforme en la topología misma del EVT.
Por esta razón, en el artículo se enumeran algunas propiedades de conjuntos equicontinuos que son relevantes para tratar con el producto tensorial inyectivo.
es equicontinuo basta demostrar que está acotado en la topología de convergencia puntual.
[14] También existe un isomorfismo canónico en el espacio vectorial[14] Con el fin de definirlo, para cada forma bilineal continua por separado
y, por lo tanto, el isomorfismo canónico está, por supuesto, definido por
la aplicación canónica se convierte en un isomorfismo de EVTs[14] En particular,
y se llamará producto tensorial proyectivo de
En esta sección se describen identificaciones canónicas entre espacios de aplicaciones bilineales y lineales.
Estas identificaciones se utilizarán para definir subespacios y topologías importantes (particularmente, aquellos que se relacionan con operadores nucleares y espacios nucleares).
en su completación, y sea que es su matriz transpuesta, un isomorfismo espacial vectorial.
es un embebido de un EVT y una isometría (cuando los espacios reciben sus normas habituales) cuyo rango es el espacio de todos los operadores lineales compactos desde
[23] Denótese la aplicación identidad por y sea se denota su matriz transpuesta, que es una inyección continua.
consta exactamente de esas formas bilineales continuas v en
Esto es algo común cuando se estudian los productos tensoriales proyectivos e inyectivos y de espacios de funciones/sucesiones y EVTs: la "forma natural" en la que se definiría (desde cero) una topología en dicho producto tensorial es frecuentemente equivalente a la topología inyectiva o al producto tensorial proyectivo.
se le da la topología inyectiva y, además, su rango es denso en su codominio.
de la misma manera que se definen las topologías en
Todo este trabajo para ampliar la definición de diferenciabilidad y varias topologías resulta ser exactamente equivalente a simplemente tomar el producto tensorial inyectivo completo: Teorema[29]Si
que convergen al origen y le dan a este espacio la norma
Es posible generar el espacio de Schwartz a funciones valoradas en un EVT.
Para generalizar la topología del espacio de Schwartz a